Расставить пределы интегрирования в двойного интеграла в том и в другом порядке для указанной области. D - круговое кольцо, ограниченное окружностями радиусов $$R_{1}=1$$ и $$R_{2}=2$$, с общим центром O (0;0).

Внимание здесь следует обратить на то, что записать интеграл необходимо в ДЕКАРТОВОЙ, а не в полярной системе координат.

Я полагаю, что нужно решать так:

Разделим область интегрирования на две части и для каждой из частей составим свои повторные интегралы:

1) Пусть интегрирование во внешнем интеграле производится по переменной x , а во внутреннем - по y. Тогда имеем:

a) Для первого интеграла: Если $$-2 \leq x \leq 2$$, то $$- \sqrt{1-x^{2}} \leq y \leq - \sqrt{4-x^{2}}$$, так как $$x^{2}+y^{2} = 1$$ $$y=-\sqrt{1-x^{2}}$$ - функция задает нижнюю полуокружность; $$x^{2}+y^{2} = 4$$ $$y=-\sqrt{4-x^{2}}$$- функция задает нижнюю полуокружность.

Следовательно:$$\int_{-2}^{2}dx \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{-\sqrt{4-x^{2}}} f(x,y)dy$$

b) Для второго интеграла: Если $$-2 \leq x \leq 2$$, то $$ \sqrt{1-x^{2}} \leq y \leq \sqrt{4-x^{2}}$$, так как $$x^{2}+y^{2} = 1$$ $$y=\sqrt{1-x^{2}}$$ - функция задает верхнюю полуокружность; $$x^{2}+y^{2} = 4$$ $$y=\sqrt{4-x^{2}}$$- функция задает верхнюю полуокружность.

Следовательно: $$\int_{-2}^{2}dx \int_{\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x,y)dy$$

И таким образом, получим:$$\int_{-2}^{2}dx \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{-\sqrt{4-x^{2}}} f(x,y)dy+\int_{-2}^{2}dx \int_{\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x,y)dy$$

2) Пусть интегрирование во внешнем интеграле производится по переменной y , а во внутреннем - по x. Аналогично,только там будут функции x(y), которые изначально будут задавать левую полуокружность, а потом правую.

задан 11 Мар 17:37

@Men007: то, что Вы написали, очень далеко от верного решения. Прежде всего, не сказано, на какие две части Вы разбиваете область. Так или иначе, неверно то, что при -2<=x<=2 переменная y будет находиться или между нижними границами двух окружностей, или между верхними.

Я бы здесь рассмотрел не сумму, а разность двух интегралов (что равноценно), и тогда всё просто: $%\int_{-2}^2dx\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}f(x,y)\,dy-\int_{-1}^1dx\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)\,dy$%. Порядок следования x и y не имеет значения по причине симметрии.

(11 Мар 18:53) falcao

То есть обратный порядок следования x и y будет иметь вид:$$\int_{-2}^{2}dy \int_{-\sqrt{4-y^{2}}}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x,y)dx+\int_{-2}^{2}dy \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x,y)dx$$? Почему при -2<=x<=2 переменная y может находиться не только между нижними границами двух окружностей или между верхними? Какое еще нужно наложить ограничение, чтобы она находилась в этих граница? И возможно ли как-то расписать через сумму двух интегралов, а не через разность?

(11 Мар 19:18) Men007

@Men007: обсуждать симметричный случай, когда надо поменять местами x и y, я считаю ненужным. Только если интеграла два, то должна быть разность. Если на разность категорически наложен запрет (что вообще-то было бы глупо), то тогда будет четыре слагаемых. В одном -2<=x<=-1, где -sqrt(4-x^2)<=y<=sqrt(4-x^2). Такие же пределы по y в 4-м слагаемом, где 1<=x<=2. А в середине -- два слагаемых, где -1<=x<=2, и при этом y или между верхними границами, или между нижними. Всё это сразу видно из рисунка.

(11 Мар 19:30) falcao

А если в полярных координатах рассматривать то получаем: $$ \int \int_G F(r, \varphi ) r drd \varphi$$ = $$\int_0^{2\pi} d \varphi \int_1^2 F(r, \varphi ) r dr $$ = $$\int_1^2 r dr \int_0^{2\pi} F(r, \varphi ) d \varphi $$

(11 Мар 22:41) Men007

@Men007: для случая полярных координат всё более чем стандартно. Там, если не забыть про якобиан, ошибиться довольно трудно.

(11 Мар 23:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,133

задан
11 Мар 17:37

показан
391 раз

обновлен
11 Мар 23:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru