Я недавно заметил странную вещь. Если взять все правильные несократимые дроби, у которых в числители и знаменателе стоят натуральные числа(при этом это числа от 1 до 9), и целенаправленно искать такие дроби, которые при переводе в десятичную дробь дают период, то получается забавная картина. Если после этого еще раз отсеять оставшиеся дроби, но этот раз уже по размеру повторяющейся части периода, то в результате остаются только правильные простые дроби, у которых в знаменателе стоит 7. Причем семерка побеждает с впечатляющим отрывом от конкурентов!

Тут что-то нечисто. Мне не верится, что это просто случайность, причуда математики. Уж слишком это упорядоченно выглядит. Если это так, то в чем причина? Или это действительно случайность?

задан 31 Мар '13 12:22

10|600 символов нужно символов осталось
2

Специфика знаменателя $%7$% в данном случае объясняется довольно просто. Рассмотрим для начала такой пример. Возьмём шестизначное число $%142857$% -- как раз оно получается "в периоде" при делении $%1$% на $%7$% и умножим его последовательно на $%2$%, $%3$%, $%4$%, $%5$% и $%6$%. При этом получаются числа $%285714$%, $%428571$%, $%571428$%, $%714285$% и $%857142$%. Они не только образованы перестановками цифр исходного числа, но являются его циклическими сдвигами.

Объясняется это тем, что в процессе деления $%1$% на $%7$% "столбиком" встречаются все возможные ненулевые остатки от деления на $%7$%, то есть числа от $%1$% до $%6$%. Они встречаются в таком порядке: $%1$%, $%3$%, $%2$%, $%6$%, $%4$%, $%5$%, и далее снова идёт $%1$%. Соответственно, если мы вместо $%1/7$% берём дробь $%3/7$%, то процесс начинается как бы не с первого шага, а со второго, и поэтому последовательность (неполных) частных, которые выписываются в ответе, будет читаться уже не с первого знака, а со второго, и получается сдвиг десятичных цифр числа на единицу. И так далее.

Специфика здесь состоит в том, что длина периода оказывается максимально возможной, то есть равной $%m-1$% при рассмотрении дроби $%1/m$%. Это происходит тогда, когда $%k=m-1$% является наименьшим натуральным числом, для которого $%10^k-1$% делится на $%m$%. Само число $%m$% здесь считается нечётным и не делящимся на $%5$%.

Почему, например, число $%3$% не попало в ту же категорию, что и $%7$%? Это произошло за счёт того, что $%10^1-1=9$% делится на $%3$%. Конечно, $%10^2-1=99$% также делится на $%3$%, но это явление произошло как бы "досрочно", то есть при $%k=1$%, а не при $%k=2$%.

Естественно было бы тогда спросить, а какие ещё числа кроме $%7$% будут обладать аналогичным свойством? Для этого нужно разложить на простые множители числа вида $%10^k-1$% и посмотреть, какие простые сомножители здесь встретятся "рано", а какие "поздно". Например, если взять $%k=3$%, то $%10^k-1=999=3^3\cdot37$%, и это значит, что число $%37$% встретилось "рано". У дроби $%1/37$%, тем самым, будет "короткий" период. Если же взять простые числа из списка $%17, 19, 23, 29, 47$%, то там периоды оказываются максимально возможными по длине: например, у дроби $%1/17$% длина периода равна $%16$%, у $%1/19$% она равна $%18$%, и так далее. Но во всех этих случаях мы имеем дело со знаменателями, которые по значению уже превышают основание системы счисления. Аналогичный эффект будет наблюдаться, но с некоторой особенностью. Так, например, если мы возьмём период дроби $%1/17$%, то есть $%16$%-значное число $%N=5882352941176470$%, то оно при умножении на любое число от $%2$% до $%16$% также будет подвергаться циклическому сдвигу, только с дополнительным нулём на конце. Например, $%14N=82352941176470580$%.

ссылка

отвечен 31 Мар '13 15:28

10|600 символов нужно символов осталось
0

Не стоит напрягаться. Все обыкновенные дроби периодические. Что так Вас смутило в поведении дробей со знаменателем 7? Я думаю, что здесь все чисто.

ссылка

отвечен 31 Мар '13 14:07

" Все обыкновенные дроби периодические. " А как же дроби со знаменателями 10, 100 и т.д.? Они переводятся в конечные десятичные дроби. Или Вы имели что-то другое в виду под периодом?

Я под "периодом" подразумевал повторяющуюся дробную часть бесконечной десятичной дроби. Как мне известно, если речь идет об рациональных числах, эта часть не может быть уникальной. Через некоторое время числа повторяются. Например: 1,123123123123 и т.д. Эту дробь еще можно записать как 1,(123) Дроби со знаменателем 7 смутили меня тем, что у них длина "шаблона"(чисел в скобках), гораздо больше,чем у их "соседей".

(31 Мар '13 14:25) Tsukune

Такие дроби можно считать периодическими, скажем, с периодом 0. А Вы попробуйте перевести дроби со знаменателями от 11 до 19 в десятичные. Там тоже возможны "сюрпризы".

(31 Мар '13 14:45) Anatoliy

Я специмально проверял правильные дроби, знаменатель которых состоял из одной цифры. Почему же семерка так выделяется среди них?

(31 Мар '13 15:13) Tsukune
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×149

задан
31 Мар '13 12:22

показан
1225 раз

обновлен
31 Мар '13 15:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru