Если фигуры симметричны, то они равны. Но верно ли обратное, что если фигуры равны, то они симметричны? Под "равны" подразумевается возможность наложить их друг на друга.

Приведу пример: Возьмем прямоугольник(НЕ квадрат) и согнем его по диагонали. Две его половинки не наложились полностью друг на друга. Хотя если разрезать этот прямоугольник по диагонали, то мы получим два абсолютно одинаковых треугольника, которые будут полностью совпадать, если мы наложим их друг на друга. Можно ли в данном случае считать эту диагональ осью симметрии или нет?

задан 31 Мар '13 12:27

@Tsukune: я забыл сказать насчёт Вашего вопроса о прямоугольнике, не являющемся квадратом. Его диагональ, конечно же, не будет осью симметрии прямоугольника (см. определение осевой симметрии). Ещё можно отметить вот какой факт: если разрешается применять осевую симметрию несколько раз друг за другом (относительно каких угодно осей), то посредством таких преобразований всегда можно перевести одну фигуру в другую -- при условии, что они равны. Может быть, Вы изначально что-то такое и подразумевали?

(31 Мар '13 20:32) falcao

Спасибо всем, думаю теперь ситуация достаточно прояснилась.

(31 Мар '13 21:50) Tsukune
10|600 символов нужно символов осталось
1

Слово "симметрия" в математике может быть использовано в двух смыслах. Узкий смысл этого слова, используемый в школе -- центральная симметрия или осевая симметрия. В стереометрии рассматривается также симметрия (отражение) относительно плоскости.

Иногда "симметрией" могут называть то же самое, что называют словом "перемещение" (или "движение") плоскости или пространства. При таком общем понимании, равные фигуры всегда оказываются "симметричными" относительно некоторого перемещения. Когда-то в школьной программе давали такое определение: фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Но здесь весь вопрос в том, какого рода движения плоскости или пространства разрешено рассматривать.

Прежде всего, давайте классифицируем все возможные перемещения плоскости. Здесь обязательно подразумевается, что при перемещении сохраняются расстояния между точками. Если точки $%A$% и $%B$% переместились и перешли в точки $%A'$%, $%B'$%, то расстояние $%AB$% должно быть равно расстоянию $%A'B'$%.

Классификация перемещений плоскости такова:

1) параллельные переносы (задаётся направление и расстояние переноса)

2) повороты (задаётся центр и угол поворота)

3) осевые симметрии (задаётся ось симметрии)

4) скользящие симметрии (сначала осуществляется осевая симметрия относительно заданной оси, а затем -- параллельный перенос вдоль этой оси).

Центральные симметрии здесь относятся к категории 2: это повороты на $%180$% градусов. Особо следует ещё выделить тождественное перемещение -- когда каждая из точек остаётся на месте. Его можно считать как параллельным переносом на нулевое расстояние, так и поворотом на нулевой угол.

Если мы последовательно выполним какие-то два перемещения из указанного списка, то всегда получим перемещение из этого же списка. (Скажем, если выполнить друг за другом две осевые симметрии относительно разных осей, то итогом будет некоторый поворот.) Математики в этом случае говорят, что перемещения плоскости образуют группу.

Легко привести примеры фигур, совмещение которых возможно лишь посредством перемещения заданного типа. Достаточно взять какое-нибудь изображение "неправильной" формы -- например, букву Ъ, и отразить её относительно какой-то прямой. Тогда для совмещения фигур подходит лишь осевая симметрия из пункта 3. Если мы сдвинем далее фигуру вдоль оси, то не подойдёт ничего кроме скользящей симметрии из пункта 4. Это случаи, когда фигура переворачивается. Если же этого не происходит, то два знака Ъ одинакового размера, нарисованные на плоскости в разных местах, совмещаются либо при помощи подходящего поворота из пункта 2, либо параллельного переноса из пункта 1.

ссылка

отвечен 31 Мар '13 15:55

После этого подробного изложения все становиться на свои места, и наконец-то восторжествовала истина!

(31 Мар '13 16:05) Anatoliy

"Автора вопроса, насколько я понял, занимает проблема: могут ли две равные фигуры быть - в принципе! - несимметричными?"

И этот вопрос тоже. Если фигуры равны, то их в принципе всегда можно сделать симметричными, верно же?

(31 Мар '13 17:05) Tsukune
10|600 символов нужно символов осталось
1

Симметрични относительно чего точки, или оси?. В вашем примере треугольники симметрични относительно точки пересечения диогоналей. В любом случае ответ-нет. Легко можно построить контрпримеры.

@Tsukune-Тогда будьте добры, приведите такой контр-пример. Я просто хочу удостоверится, что правильно понял Вашу мысль.

Пример. Имеем две равние прямоугольные треугольники $%\triangle ABC=\triangle EKF,(\angle E=\angle A=90^0,EF=AC,EK=AB),$% которые расположены как в рисунке. При симметрии треугольники должны совпадать,значит точка $%A$% должна перейти в точку $%E,$% точка $%C -$% в точку $%F,$% а точка $%B $% в точку $%K.$% Чтобы точка $%A $%перешла в точку $%E,$% то, при центральной симметрии ценр должен быть точка $%O-$%середина отрезка $%AE,$% а при осевой симметрии ось должен быть прямая $%a -$%серединный перпендикуляр отрезка $%AE.$% Но при этом точка $%B$% не может перейти в точку $%K.$% (Обе эти точки рассположены на одной стороне прямой $%a.$%)

Приведенный пример доказывает,что равные фигуры могут быть не симметричны.
alt text

ссылка

отвечен 31 Мар '13 14:01

изменен 31 Мар '13 15:36

Переместим точку A в точку E(или наоборот), повернём весь треугольник до совмещения с другим треугольником и - последний шаг - повернём один из совмещённых тругольников - через пространство - до прежней плоскости. Получим равнобедренный треугольник и линию симметрии в виде высоты AB (EK). Автора вопроса, насколько я понял, занимает проблема: могут ли две равные фигуры быть - в принципе! - несимметричными? Например, два сумашедших звёздных многоугольника или что-то ещё более заумное? Зеркальное отражение - это же тоже симметрия? Две буквы FF, в курсиве, можно свести к зеркальной симметрии.

(31 Мар '13 16:05) nikolaykruzh...

Данный вопрос позволил всем, причастным к этому вопросу, в какой-то мере расслабиться:).

(31 Мар '13 16:26) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
1

Только одно замечание. И осевую и центральную симметрию называют симметриями, но у них есть существенное отличие. Первая из них меняет ориентацию плоскости. Т.е. переворачивает ее "обратной стороной". Вот это различие нельзя преодолеть, не выходя из плоскости. Как в пространстве нельзя превратить левую перчатку в правую.

ссылка

отвечен 1 Апр '13 16:12

Спасибо, буду знать!

(1 Апр '13 16:17) Tsukune
10|600 символов нужно символов осталось
0

Обратное утверждение неверно. Это следует из определения симметрии (центральной, осевой, плоскостной). Если две фигуры равны (на плоскости), то одну из них можно отобразить на другую с помощью некоторого перемещения. Это перемещение можно представить как суперпозицию (последовательное выполнение) параллельного переноса, осевой симметрии либо поворота. Вот две фигуры: $%\Large F \Large F$%

ссылка

отвечен 31 Мар '13 13:59

изменен 31 Мар '13 14:54

То есть, может быть такая ситуация, когда есть две равные фигуры, которые при этом не могут быть признаными симметричными? Мне такое кажется невозможным. Ведь существует бесконечное множество линий и точек. И среди них по идее должны найтись такие, относительно которых данные фигуры были бы симметричны.

(31 Мар '13 14:17) Tsukune

"Вот две фигуры" Не понял, что Вы хотели этим сказать?

(31 Мар '13 15:11) Tsukune
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,924
×1,401

задан
31 Мар '13 12:27

показан
5340 раз

обновлен
1 Апр '13 16:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru