Вычислить двойной интеграл $$\int\int_D xdxdy$$, где область D ограничена осью абсцисс и аркой циклоиды: $$\begin{cases}x = R(t-sin(t))\\y = R(1-cos(t))\end{cases} (0 \leq t \leq 2 \pi )$$

задан 11 Мар 22:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%y=y(x)$% есть уравнение первой арки циклоиды (явный вид не нужен). Тогда интеграл из условия равен повторному, и далее одномерному: $%\int_0^{2\pi R}x\,dx\int_0^{y(x)}dy=\int_0^{2\pi R}xy(x)\,dx$%, после чего всё можно выразить через параметр $%t$% в виде $%R^3\int_0^{2\pi}(t-\sin t)(1-\cos t)^2\,dt$%. Такой интеграл вычисляется по обычным правилам (интегрирование по частям), и в итоге получается $%3\pi^2R^3$%. Можно заметить, что от разности $%t-\sin t$% можно оставить только $%t$%, так как оставшийся интеграл будет равен нулю.

ссылка

отвечен 11 Мар 23:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,021

задан
11 Мар 22:50

показан
136 раз

обновлен
11 Мар 23:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru