Пусть непрерывная функция $%f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$% такая, что для произвольного действительного $%x$% имеет место равенство $%f(x)+f(x+1)=1$%. Вычислить интеграл $%\int \limits_0^{2018} f(x) \, dx$% .

задан 11 Мар 23:14

10|600 символов нужно символов осталось
3

Ввиду того, что f(x+1)+f(x+2)=1, функция периодична с периодом 2. Тогда достаточно найти интеграл от 0 до 2 и умножить на 1009.

Интеграл записываем как сумму интегралов от 0 до 1 и от 1 до 2. Во втором слагаемом сделаем замену переменных x=t+1. Получится интеграл от f(t+1)=1-f(t) в пределах от 0 до 1. Интегралы от функции сократятся, и останется интеграл от 1. Поэтому в ответе будет 1009 (что ясно также на примере константы).

А можно ввести функцию g(x)=f(x)-1/2, для которой g(x+1)=-g(x), и тогда ясно, что интегралы по соседним отрезкам длиной 1 также сокращаются.

ссылка

отвечен 11 Мар 23:58

10|600 символов нужно символов осталось
2

Утешусь маленько... )))

По условию $$ f(x+2)=1-f(x+1) = 1-\Big(1-f(x)\Big) = f(x) $$ Тогда в силу периодичности $$ \int\limits_{0}^{2018}f(x)\;dx = 1009\cdot \int\limits_{0}^{2}f(x)\;dx = 1009\cdot \left(\int\limits_{0}^{1}f(x)\;dx + \int\limits_{1}^{2}f(x)\;dx\right) = $$ $$ =1009\cdot \left(\int\limits_{0}^{1}f(x)\;dx + \int\limits_{0}^{1}f(x+1)\;dx\right) = $$ $$ =1009\cdot \left(\int\limits_{0}^{1}f(x)\;dx + \int\limits_{0}^{1}\Big(1-f(x)\Big)\;dx\right) = 1009 $$

ссылка

отвечен 11 Мар 23:50

изменен 11 Мар 23:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,060
×238
×91
×4

задан
11 Мар 23:14

показан
163 раза

обновлен
11 Мар 23:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru