В абелевой группе G, порожденной элементами a,b, выполняются следующие соотношения: 12a+7b=0, 10a+9b=0. Доказать, что группа G конечная.

задан 12 Мар 0:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Система соотношений может быть упрощена на манер элементарных гауссовых преобразований. Здесь первое соотношение можно заменить на разность первого и второго, то есть на 2a-2b=0. Это следует из того, что одно выражается через другое, то есть подгруппа, порождённая элементами 12a+7b и 10a+9b, та же, что и порождённая u=2a-2b, v=10a+9b.

Теперь можно продолжить тот же процесс упрощений, заменяя второй элемент на v-5u=19b. Далее можно произвести замену образующих, беря c=a-b вместо a. Группа остаётся той же, а соотношения в порождающих b, c принимают вид 19b=0, 2c=0. Здесь уже понятно, что факторгруппа (Z+Z)/(19Z+2Z) изоморфна Z/19Z+Z/2Z, то есть прямой сумме двух конечных циклических групп. Ввиду взаимной простоты чисел 19 и 2, это будет циклическая группа порядка 38.

ссылка

отвечен 12 Мар 0:26

10|600 символов нужно символов осталось
0

$%108a=63(-b), 70(-a)=63b$% и тогда $%38a=0$%. Аналогично $%70(-b)=120a, 108b=120(-a)$% и тогда $%38b=0$% Значит, имеется только конечное число разных ненулевых комбинаций $%m\cdot a+n\cdot b, m,n \in N.$%

ссылка

отвечен 12 Мар 0:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×761

задан
12 Мар 0:13

показан
147 раз

обновлен
12 Мар 0:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru