Оценить интеграл: $$ \int \int_D (4x^{2}+y^{2}-2)dxdy$$, где $$(x^{2}+y^{2} \leq 16)$$

задан 12 Мар 4:20

перемечен 12 Мар 18:24

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


3.5k29

В таких случаях желательно знать порядок оценки. Ведь оценивать можно с разной степенью точности. Скажем, можно оценить функцию снизу и сверху симметричным выражением, но это даст весьма грубое приближение.

(12 Мар 9:33) falcao

Здесь вообще-то всё можно точно сосчитать.

(12 Мар 9:38) falcao

Вопрос в том, как это сосчитать?

(12 Мар 11:49) Men007

Перейти в полярные координаты и сосчитать.

(12 Мар 12:13) Амфибрахий

@Men007: обычная полярная замена, то есть x=r cos ф, y=r sin ф, dx dy = r dr dф. Границы: 0<=r<=4, 0<=ф<=2п. Интегралы там получаются довольно несложные.

(12 Мар 12:16) falcao

То, как перейти в полярные координаты, понятно. Однако как считать, то есть как оценить интеграл, я так и не понял.

(12 Мар 12:27) Men007

@Men007: а Вы напишите тот интеграл, который получается при замене. Тогда можно будет обсудить, есть ли трудности при его нахождении.

(12 Мар 15:47) falcao

Получается, что оценить интеграл - это значит его найти?

(12 Мар 16:11) Men007
1

@Men007: если интеграл какой-то сложный, и его нельзя найти точно, то может представлять ценность нахождение приближённого значения. Типа, между 1,23 и 1,24. Но если можно найти точное значение, причём без труда, то это лучше, чем приближённая оценка.

В общем случае одно не всегда значит другое, но здесь никто не мешает посчитать точно (что давно уже было пора сделать, так как все советы были даны).

(12 Мар 18:28) falcao

Я понимаю, что можно найти точное значение данного интеграла (я его давно посчитал, если перейти к полярным координатам, то ответ получается 288pi). однако в задании подразумевается не нахождение интеграла, а нахождение приближенного отрезка, в котором этот интеграл находится (без использования полярных координат). Как я понял, здесь необходимо воспользоваться теоремой об оценке двойного интеграла, то есть нужно искать максимумы и минимумы функций, но вот каких функций и как их искать я не могу понять.

(13 Мар 1:02) Men007

@Men007: ответ 288п верный. Тогда напишите в ответе, что это и верхняя, и нижняя оценка одновременно :) Чем не решение -- пусть только попробуют не засчитать! О том, что нельзя использовать полярные координаты, в условии нет ни слова. Как нет указания на то, что оценка непременно должна быть неточной.

Что касается минимума и максимума, то очевидно, что минимум равен -2, и он достигается в точке (0,0). Максимум не превосходит 4(x^2+y^2)-2<=62, и он также достигается в точке (4,0).

(13 Мар 2:27) falcao

Там скорее максимум не превосходит 4x^2+y^2-2<=14 (просто там нет скобок). В таком случае получим: mS<=интеграл<=MS; -216pi<=интеграл<=1416pi. Однако ответ 288pi сюда не входит, ведь он больше 224pi

(13 Мар 3:12) Men007

@Men007: скобок нет, но имеется в виду оценка: 4x^2+y^2-2<=4(x^2+y^2)-2<=62. Это значение нельзя уменьшить, потому что оно достигается в точке (x,y)=(4,0). Ответ сюда входит, только видно, что оценки здесь совсем грубые. Такой метод вообще никуда не годится. Тот, кто придумал такую "задачу" и рекомендовал применить этот способ, явно "оплошал".

(13 Мар 9:32) falcao

Большое спасибо, теперь многое стало понятно. Единственный вопрос у меня в том, откуда взялась точка (4,0). Я когда решал у меня все время выходила точка (0,4):

x^2+y^2=16 => y^2=16-x^2 => f=4x^2+16-x^2-2=3x^2+14

f'=6x=0 => x=0 => y^2=16 => y=+-4. Отсюда и получаем точки.

(13 Мар 19:03) Men007
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,023
×68

задан
12 Мар 4:20

показан
202 раза

обновлен
13 Мар 19:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru