Дана группа $%\mathbb G = \mathbb Z_{p^3} \oplus\mathbb Z_{p^3}\oplus\mathbb Z_{p} $% p - простое.

1) Показать, что все разложения $%\mathbb G$% в прямую сумму циклических групп имеют указанный вид с точностью до изоморфизма.

2) Найти число разложений $%\mathbb G$% в прямую сумму циклических групп.

3) Найти $%\mathbb |End(G)|$% и $%\mathbb |Aut(G)|$%

задан 12 Мар 7:21

@Eco_man: на форуме была целая серия подобных задач. Посмотрите через поиск.

(12 Мар 9:29) falcao

@falcao Благодарю, прошу поправить 1ый пункт, если я не прав: Выписать все варианты представления G по порядкам p, p^2, p^3 и рассмотреть индуцированный гомоморфизм факторгрупп G/pG (или G/p^2G) на A/pA (или A/p^2A), который будет изоморфизмом. A - это представление по порядкам. Пример для G/p^2G: A = Z_{p^3} + Z_{p^2} + Z_{p^2}. Тогда A/p^2A = Z_p. Ну и G/p^2G = Z_p + Z_p. Пример для G/pG: A = Z_{p^3} + Z_{p^2} + Z_p + Z_p. Тогда A/pA = Z_{p^2} + Z_p. Ну и G/pG = Z_{p^2} + Z_{p^2} . Следовательно группа G имеет только данный в условии вид.

(12 Мар 11:42) Eco_man

@Eco_man: судя по всему, Вы понимаете общий метод. Тут идея, по сути, одна. Надо только описать это достаточно полно, оговорив, что разложения типа Z(p^4)+... не годятся, так как у группы G показатель равен p^3, и так далее.

Задачи в других примерах однотипные, то есть решать их отдельно нет смысла.

(12 Мар 12:19) falcao

@falcao Прошу помощи с поиском количества элементов порядка p, p^2, p^3. Никак не могу понять, как правильно это делать.

UPD: По идее так: p будет p^3 - 1; p^2 будет p^5 - p^3; p^3 будет p^7 - p^5

(13 Мар 13:16) Eco_man

@Eco_man: для каждого k легко найти число решений уравнения x^{p^k}=1 в группе. Пусть это a(k). Тогда число элементов порядка p^k равно a(k)-a(k-1).

(13 Мар 14:16) falcao

@falcao Благодарю. Как я понял данную задачу, нужно решать как тут math.hashcode.ru/questions/87956/ Используя туже терминологию. G_3 ~ Z_{p^3}; G_2 ~ Z_{p^3}, G_1 ~ Z_p.

(13 Мар 16:55) Eco_man

@falcao С G_3 практически так же, только (a,b) можно выбрать p^4 способами. В G_2 порождающий (x, y, z) ~ (a,1,c), где y не делиться на p и имеет порядок p^3. Элемент "a" принимает p значений, и у "c" имеет место p^3*c = 0, тогда "c" принимает p^3 значений. Того еще p^4 способов. Далее G_1 дает еще еще p^2 вариантов разложения. Прошу сказать верно или нет, очень тяжело идут данные задачи.

(13 Мар 17:10) Eco_man

@falcao Прошу простить мне мою настырность. Горю по времени, к сожалению.

(13 Мар 18:37) Eco_man

@Eco_man: эти задачи в некоторых пунктах технически сложны. Я готов обсуждать общие принципы решения, но по N-му разу "погружаться" в решение или проверку однотипных вариантов мне бы не хотелось. Вы дели ссылку на одну из записей, но их было очень много, в том числе с другими (бОльшими) числами, где упоминались End и Aut. По этим сокращениям можете найти через поиск.

(13 Мар 21:54) falcao

@falcao Вы не могли бы описать метод поиска числа эпиморфизмов свободной группы F_3 (3 - ранг св. группы) в G? Так же прошу помощи с поиском числа ядер эпиморфизмов F_3 в G. Конкретный пример был разобран тут: math.hashcode.ru/questions/87991/ . Мне интересен общий метод решения подобных задач. Предполагаю, что число эпиморфизмов будет равно |Aut(G)|, возможно я не прав. Заранее благодарю.

P.S. Предыдущие вопросы разобрал, спасибо за цикл ответов на подобные задачи.

(18 Мар 8:56) Eco_man

@Eco_man: эпиморфизм конечной группы -- это автоморфизм. То есть речь об одной и той же задаче. Для нахождения числа автоморфизмов можно найти число разложений группы в виде Z(p^3)+Z(p^3)+Z(p), а такая задача в примерах была многократно разобрана. Метод там указан достаточно общий. Сначала смотрим, каково число циклических подгрупп порядка p^3, то есть сколькими способами выбирается первое из прямых слагаемых. Потом находим число продолжений, и так далее.

(18 Мар 12:59) falcao

@falcao Благодарю. А с ядрами как быть?

(18 Мар 19:56) Eco_man

@Eco_man: это всё тоже много раз обсуждалось. См. здесь, а также по ссылкам внутри.

(18 Мар 20:08) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,711
×750

задан
12 Мар 7:21

показан
169 раз

обновлен
18 Мар 20:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru