Привести пример рациональной и разрывной функции, имеющей всюду частные производные

задан 12 Мар 16:49

перемечен 12 Мар 18:23

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


3.5k29

@Бертран: сколько переменных должно быть у этой функции?

И ещё один вопрос: если рациональная функция, скажем, P(x,y)/Q(x,y) разрывна, то она в каких-то точках не определена. Тогда как она в них может иметь частные производные?

(12 Мар 19:04) falcao

@Бертран: такого рода пример понятен, но формулировку я считаю неудовлетворительной с точки зрения требований формальной строгости. Есть точное понятие рациональной функции, и в своём "первозданном" виде оно не подходит. А доопределённая функция уже не является рациональной.

(12 Мар 23:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Такого примера не существует. Частные производные рациональной функции являются рациональными функциями. Вы говорите, что частные производные должны быть определены во всех точках. Но эти частные производные - это рациональные функции, а если рациональная функция всюду определена, то она всюду непрерывна. Значит, ваши частные производные всюду непрерывны. Из непрерывности частных производных следует дифференцирируемость вашей рациональной функции. А раз, функция всюду дифференцирируема, то она всюду непрерывна. Противоречие с условием задачи.

Р.S. Хотя в общем случае существование частных производных не является достаточным условием непрерывности функции, но как я доказал више, для рациональной функции это достаточное условие.

ссылка

отвечен 12 Мар 19:18

изменен 12 Мар 19:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,623
×49
×44

задан
12 Мар 16:49

показан
193 раза

обновлен
12 Мар 23:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru