Найдите все такие наборы чисел $% x_{1}; x_{2}; ...; x_{n+1}$%, что $% x_{1} = x_{n+1}$% и при всех $%k=1, ..., n$% выполнено равенство:

$%2 log_{9} x_{k}\cdot log_{9} x_{k+1}- log_{9} ^{2} x_{k} = \frac{1}{4}$%

задан 13 Мар '18 21:53

изменен 13 Мар '18 21:57

1

вроде как последовательности только из троек получаются...

(13 Мар '18 22:29) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пускай $%a_k=\log_9x_k$%

$%2a_ka_{k+1}=a_k^2+\frac14>0$%, следовательно все $%a_k$% одного знака. Будем считать, что все положительные.

Из равенств $%2a_k\left(a_{k+1}-\frac12\right)=\left(a_k-\frac12\right)^2$% следует, что либо все $%\left(a_k-\frac12\right)$% равны $%0$% либо все $%\left(a_k-\frac12\right)$% одного знака.

Второе невозможно, поскольку перемножив все равенства, получим

$$\prod\frac{2a_k}{\left(a_k-\frac12\right)}=1.$$ Противоречие.

Ответ: Все $%x_k$% равны $%3$% либо $%\frac13$%.

ссылка

отвечен 13 Мар '18 23:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вариант подлиннее... )))

Обозначим $%z_k = 2\log_9 x_k$%... тогда $%2z_kz_{k+1}-z_k^2 = 1$%... Понятно, что $%z_k\neq 0$%, следовательно, $$ z_{k+1}=\dfrac{z_k^2 + 1}{2z_k}=\frac{1}{2}\Big(z_k+\frac{1}{z_k}\Big)=f(z_k) $$

При $%z > 0$% функция $%f(z)$% имеет минимум в точке $%z=1$%... поэтому если $%z_k < 1$%, то $%z_{k+1}=f(z_k) > 1$%...

Пусть $%z > 1$%, тогда $%f(z) < z$%, что следует из монотонности, выпуклости вниз и наличия асимптоты... в общем из графических соображений...

Аналогично рассматривается случай $%z < 0$%...

Таким образом, если $%z_1 \neq \pm 1$%, то $%z_n\neq z_1$%... то есть искомые последовательности $%\{z_1,\ldots,z_n\}$% имеют вид $%\{1,\ldots,1\}$% или $%\{-1,\ldots,-1\}$%, откуда все $%x_k$% равны $%3$% или $%\frac{1}{3}$% ...

ссылка

отвечен 14 Мар '18 0:57

изменен 14 Мар '18 2:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,711

задан
13 Мар '18 21:53

показан
450 раз

обновлен
14 Мар '18 2:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru