У каждого натурального числа от $%n+1$% до $%n+1000$% выписывают все делители, не превосходящие 1000. Докажите, что для бесконечно многих натуральных $%n$% сумма всех выписанных чисел больше миллиона, и для бесконечно многих - меньше.

задан 14 Мар '18 16:55

1

Правильно ли я понимаю, что выписанное число 2, являющееся делителем 500 чисел, учитывается в сумме столько же раз? То есть берётся сумма сумм делителей.

(14 Мар '18 17:17) falcao
1

Идея понятна... типа число $$ k\cdot\left(\left[\frac{n+1000}{k}\right] - \left[\frac{n}{k}\right]\right) $$ может быть больше 1000 или меньше 1000...

Строго обосновать про сумму не возьмусь...

(14 Мар '18 17:22) all_exist

@falcao, правильно понимаете.

(14 Мар '18 18:49) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
3

Если 1000 делится на d, то среди 1000 последовательных чисел ровно 1000/d делятся на d. Если 1000 не делится на d, то количество чисел, кратных d, равно либо [1000/d], либо [1000/d]+1. Полагая n=1000!, мы оставляем делящееся на d число перед началом списка, и всегда имеет место первый случай. При n=1000!-1 мы всегда имеем второй случай.

В первом случае сумма сумм делителей равна 1000+2(1000/2)+3[1000/3]+...+1000(1000/1), что строго меньше миллиона, так как d[n/d]<=n, а для третьего слагаемого (и многих других) неравенство будет строгим. Ради любопытства, я проверил, что сумма здесь равна 823081.

Во втором случае мы имеем 1000+2(1000/2)+3([1000/3]+1)+...+1000(1000/1), и здесь каждое слагаемое равно либо 1000, либо превышает 1000 при d не делящих 1000, так как d([1000/d]+1) > 1000 для таких чисел. Здесь сумма больше миллиона, а точное значение равно 1321241.

ссылка

отвечен 14 Мар '18 17:59

@falcao, большое спасибо!

(14 Мар '18 18:49) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×150
×145
×35
×31

задан
14 Мар '18 16:55

показан
349 раз

обновлен
14 Мар '18 18:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru