-1

Решить в целых неотрицательных числах уравнение: $$1+3+9+\dots +3^n=4^m$$

задан 14 Мар '18 22:20

перемечен 14 Мар '18 23:38

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


5.6k210

2

$%3^{n+1}-1=2^{2m+1}$% по формуле суммы членов геометрической прогрессии. Задача про степени двойки и тройки, отличающиеся на 1, широко известна, и много раз обсуждалась на форуме. Там 3-1=2, 3+1=4, 9-1=8, и больше ничего нет. Доказывается это легко. Отсюда n=0, m=0 или n=1, m=1.

Думаю, что более интересная задача получилась бы при замене 4^m на произвольный точный квадрат. Тогда есть ещё решение при m=4 и 11^2.

(14 Мар '18 22:28) falcao

@falcao, ну зачем же сразу к формулам прибегать? С помощью арифмоста решим более сильное уравнение: $$1+3+9+\dots +3^n=2^m$$ При $%n\ge 2$% левая часть должна делиться на 8, так как правая будет больше 4. Но такое возможно только при $%n$%, кратном 4. Но тогда левая часть делится ещё и на 5, а значит, не может быть степенью двойки. Вот и вся любовь, а Вы про какие-то там формулы...

(14 Мар '18 23:36) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: эта задача очень простая, и решать её можно какими угодно способами. "Свернуть" сумму -- это первое, что приходит в голову. Даже до рассмотрения уравнения по модулю 3, 4 или 8. Получается хорошо знакомая вещь, после чего задача становится не очень интересной. Глубже я даже не старался думать.

(14 Мар '18 23:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,128
×205
×111
×40
×15

задан
14 Мар '18 22:20

показан
309 раз

обновлен
14 Мар '18 23:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru