Найдите наибольшее значение функции:

$%f(x)= \frac{4}{ \pi } sin(x-cosx) - \frac{ 4}{ \pi } sin(x+cosx) + \big(2- \frac{8}{ \pi } \big)coscosx+4sincosx$%

задан 14 Мар '18 23:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Применяя стандартные тригонометрические тождества, имеем $%f(x)=-\frac8{\pi}\cos x\sin\cos x+(2-\frac8{\pi})\cos\cos x+4\sin\cos x=g(\cos x)$%, где $%g(y)=-\frac8{\pi}y\sin y+(2-\frac8{\pi})\cos y+4\sin y$%. Нужно найти наибольшее значение этой функции на отрезке $%y\in[-1,1]$%.

Находим критические точки: $%g'(y)=-\frac8{\pi}\sin y-\frac8{\pi}y\cos y+(\frac8{\pi}-2)\sin y+4\cos y=0$%, откуда $%2\cos y-\sin y=\frac4{\pi}y\cos y$%. Ясно, что на косинус можно разделить, и получится $%\frac4{\pi}y+\tan y=2$%, где функция в левой части возрастает. Такое уравнение имеет не более одного корня, а один корень легко находится подбором: $%y=\frac{\pi}4$%. Он принадлежит области определения.

Значение функции в этой точке равно $%g(\frac{\pi}4)=-\sqrt2+(2-\frac8{\pi})\frac{\sqrt2}2+2\sqrt2=2\sqrt2(1-\frac2{\pi})\approx1,02779$%. Остаётся сравнить его со значениями на концах. При $%y=-1$% значение явно отрицательно (оно меньше $%-5$%). На правом конце $%g(1)=(4-\frac8{\pi})\sin1+(2-\frac8{\pi})\cos1\approx0,92783$%.

Думаю, что аналитическая проверка того, что значение в критической точке больше 1, а значение на правом конце меньше 1, в принципе возможна, но я эти соображения привлекать не буду. В первом случае работают достаточно точные приближения для $%\sqrt2$% и $%\pi$%, а во втором можно опереться на сравнение синуса и косинуса 1 радиана со значениями этих функций в точке $%\frac{\pi}3$%.

ссылка

отвечен 15 Мар '18 1:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,696

задан
14 Мар '18 23:50

показан
199 раз

обновлен
15 Мар '18 1:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru