В каждую клетку таблицы $%5\times5$% вписано число, не превосходящее по модулю единицы. В любом квадрате $%3\times3$% и $%4\times4$% данной таблицы сумма чисел равна нулю.

Найти наибольшее возможное значение суммы всех чисел в таблице.

задан 15 Мар '18 14:39

10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть в четырех угловых клетках записаны числа $%x_1, \: x_2, \:x_3, \:x_4$%. Пусть сумы чисел на боковых сторонах нашего квадрата (в эти сумы мы не включаем чисел угловых клеток) равны $%y_1, \; y_2, \;y_3, \;y_4$%. Рассмотрим всевозможные квадраты $%4 \times 4$% и учтем, что сумма чисел центрального квадрата $%3 \times 3$% равна 0. Получим $$ x_1+y_4+y_1=0 \\ x_2+y_1+y_2=0 \\ x_3+y_2+y_3=0 \\ x_4+y_3+y_4=0 $$ Сложим эти уравнения и увидим, что удвоенная сума всех чисел нашего квадрата равна $%x_1+x_2+x_3+x_4$%. Максимум будет достигается, когда $%x_1=x_2=x_3=x_4=1$%. Пример такого квадрата: $$ \begin{matrix} 1 & 0.25 & -1 & 0.25 & 1 \\ 0.25 & -0.5 & 0.5 & -0.5 & 0.25 \\ -1 & 0.5 & 0 & 0.5 & -1 \\ 0.25 & -0.5 & 0.5 & - 0.5 & 0.25 \\ 1 & 0.25 & -1 & 0.25 & 1 \end{matrix} $$

ссылка

отвечен 15 Мар '18 16:35

изменен 15 Мар '18 18:04

1

@Witold2357: Задачу придумал вчера. Пример у меня такой же.

(15 Мар '18 20:58) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: мне понравилась и задача, и решение. Обычно бывает понятно, как такие задачи решать -- там какие-то числа выбираются свободно, а остальные выражаются (тут ведь линейное подпространство). Особенно неожиданно выглядел ход к оптимальному примеру от одного из условий.

Кстати, размерность тут какая будет у подпространства, если Вы это проверяли?

(15 Мар '18 21:54) falcao

@falcao: Меня также заинтересовал вопрос о размерности подпространства. Но у меня нет никакого математического пакета, кроме WolframAlpha (он-лайн).

(15 Мар '18 22:05) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: я думаю, это число можно найти вручную. Для компьютерных вычислений я сам использую Maple, но здесь надеюсь обойтись без программ. Я спросил по той причине, что Вам ответ уже мог быть известен, то есть тогда бы вообще ничего делать не пришлось.

(15 Мар '18 23:14) falcao
1

вопрос о размерности подпространства - не то чтобы меня интересовал этот вопрос... но вбил матрицу в он-лайн матричный калькулятор... (если не ошибаюсь тут 9 квадратов 3х3 и 4 квадрата 4х4) ... калькулятор сказал, что ранг равен 13...

забавно...

(15 Мар '18 23:26) all_exist
1

@EdwardTurJ: размерность равна 12, что легко проверяется. Для каждого квадрата 4x4 рассмотрим уравнение, когда равна нулю сумма элементов, крайних сверху или слева. Тогда две первые строки задаём произвольно, и два крайние слева элемента третьей строки. Всё остальное определяется однозначно с использованием 13 уравнений: 9 для квадратов 3x3, и 4 в виде буквы "Г".

(16 Мар '18 0:51) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×17

задан
15 Мар '18 14:39

показан
3920 раз

обновлен
16 Мар '18 0:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru