Решить неравенство:

$%\arccos(\frac5{2\pi}\arcsin x) < \arcsin(\frac{10}{3\pi}\arccos x)$%

задан 15 Мар '18 21:49

изменен 15 Мар '18 21:55

falcao's gravatar image


253k23650

10|600 символов нужно символов осталось
2

Сделаем замену $%t=\arcsin x\in[\frac{\pi}5;\frac{2\pi}5]$%, выражая арккосинус посредством тождества $%\arccos x=\frac{\pi}2-\arcsin x=\frac{\pi}2-t$%, что приводит к неравенству $%\arccos(\frac5{2\pi}t) < \arcsin(\frac53-\frac{10}{3\pi}t)$%. Теперь удобно положить $%z=\frac{10t}{\pi}$%, получая $%\arccos(\frac{z}4) < \arcsin(\frac53-\frac{z}3)$%. Выражения под знаком арккосинуса и арксинуса по модулю не больше 1, откуда $%z\in[2;4]$%. Это даёт область определения неравенства, которую можно записать как $%x\in[\sin\frac{\pi}5;\sin\frac{2\pi}5]$%.

Если левую часть нового неравенства обозначить через $%a$%, то $%z=4\cos a$%, и условие возрастания арксинуса даёт равносильное неравенство $%\sin a < \frac{5-z}3$%. Это значит, что $%4\cos a+3\sin a < 5$%. Рассматривая острый угол $%\phi$%, косинус которого равен $%\frac45$%, а синус равен $%\frac35$%, приходим к неравенству $%\cos(a-\phi) < 1$%, которое верно всегда кроме случая, когда косинус равен 1. На рассматриваемом нами отрезке, $%a$% равно арккосинусу числа из отрезка $%[\frac12;1]$%, то есть $%a\in[0;\frac{\pi}3]$%. Отсюда $%\phi=a$%, так как угол $%\phi$% острый. Следовательно, единственной точкой области определения, где неравенство нарушается, будет точка, где $%\frac{z}4=\cos a=\cos\phi=\frac45$%. Этим исключается точка $%t=\frac{\pi}{10}z=\frac{8\pi}{25}$%.

Ответ в итоге имеет вид $%x\in[\sin\frac{\pi}5;\sin\frac{8\pi}{25})\cup(\sin\frac{8\pi}{25};\sin\frac{2\pi}5]$%. Некоторые из синусов здесь можно выразить через квадратные корни, но я думаю, что делать это не обязательно.

ссылка

отвечен 15 Мар '18 23:11

@falcao: Извините, пожалуйста, но я не очень понял откуда появились границы для $%t=arcsinx \in [ \frac{ \pi }{5}; \frac{2 \pi }{5} $% . $%t=arcsinx \in [ \frac{ \pi }{5}; \frac{2 \pi }{5}] $% . У меня получается: $%-1 \leq \frac{5}{2 \pi }arcsinx \leq 1$%. Тогда: $%- \frac{2 \pi }{5} \leq arcsinx \leq \frac{2 \pi }{5}$%. Также: $%- \frac{ \pi }{2} \leq arcsinx \leq \frac{ \pi }{2}$%. Тогда пересекая эти отрезки получим: $%- \frac{2 \pi }{5} \leq arcsinx \leq \frac{ \pi }{2}$%. Или я что-то опять не понял? Заранее благодарен. С уважением.

(16 Мар '18 17:45) serg55
1

@serg55: тот отрезок, который я указал, получается не сразу. У меня был сначала написан довольно длинный абзац с нахождением области определения. От него "по наследству" проникли эти границы. Удобно считать, что их пока что нет. Мы делаем замену, и получаем неравенство от t. Уже по нему пишем, что выражения под аркфункциями от -1 до 1. Это должно дать те границы, которые у меня указаны. В Вашем рассуждении учтены ограничения только для левой части, и они не полные. Если к ним добавить то же для правой части и аккуратно всё пересечь, то будут от п/5 до 2п/5.

(16 Мар '18 18:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,696

задан
15 Мар '18 21:49

показан
281 раз

обновлен
16 Мар '18 18:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru