Пусть $% a_1,a_2,a_3 $% - корни уравнения $% x^3+px+q $%. Найти $$ \frac{a_1^2}{(a_1+1)^2} + \frac{a_2^2}{(a_2+1)^2} + \frac{a_3^2}{(a_3+1)^2} $$

P.s. Через формулы Виета получилась система из 3-х уравнений. Но $% a_1,a_2,a_3 $% не выражаются.

задан 16 Мар '18 16:13

А зачем их выражать? Ваше выражение после приведения к общему знаменателю - это частное двух симметрических многочленов от a1, a2, a3. Значит оно точно через p и q выражается

(16 Мар '18 16:30) spades

И нужно привести к общему знаменателю, а дальше раскрыть скобки? Или не нужно их раскрывать?

(16 Мар '18 17:34) Желтая кукуруза
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь возможен опосредованный метод. Пусть $%y=\frac{x}{x+1}$%. В обратную сторону получается $%x=y/(1-y)$%. Подставляем эту величину в кубическое уравнение. После упрощений получается $%q+(p-3q)y+(3q-2p)y^2+(1-q+p)y^3$%. Нас интересует сумма квадратов корней этого уравнения. Хорошо известно, что она равна $%\sigma_1^2-2\sigma_2$%, где по теореме Виета $%\sigma_1=\frac{2p-3q}{1-q+p}$% -- сумма корней, и $%\sigma_2=\frac{p-3q}{1-q+p}$% -- сумма попарных произведений.

Таким образом, интересующая нас величина равна $%\frac{2p^2-4pq+3q^2+6q-2p}{(1-q+p)^2}$%.

ссылка

отвечен 16 Мар '18 17:49

Но если посмотреть на старший знаменатель в числители и в знаменателе, то в числителе он будет $% 3a_1 a_2 a_3 $%, а в знаменателе $%a_1 a_2 a_3 $%. Т.е.в числителе будет $% 3\sigma_3^2 $% , а в знаменателе просто $% \sigma_3^2$%. И все сокращается и остается просто 3. Или мои рассуждения ошибочны?

(16 Мар '18 20:00) Желтая кукуруза

@Желтая кукуруза: конечно, ошибочны, потому что ничего не сокращается. У Вас получается отношение типа (3s3^2+...)/(s3^2+...), то есть это не значит, что получится именно 3.

(16 Мар '18 22:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521
×51

задан
16 Мар '18 16:13

показан
375 раз

обновлен
16 Мар '18 22:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru