Доказать, что если каждые два различных из $%k$% векторов евклидова пространства $%V$% образуют между собой угол $%\frac{\pi}{3}$%, то $%k \leqslant \dim V$%

задан 16 Мар '18 23:27

изменен 16 Мар '18 23:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

Считаем все наши векторы единичными -- это не меняет углы между ними. Тогда все попарные расстояния между концами векторов равны 1 (все треугольники вида OAB правильные, где O -- общее начало векторов. Достаточно доказать, что в n-мерном евклидовом пространстве нельзя выбрать более n+1 точки, попарные расстояния между которыми одинаковые.

Докажем это индукцией по n, где база очевидна. Пусть утверждение доказано для конфигураций из < n+1 точек. Если имеется конфигурация из n+1 точки с попарно одинаковыми расстояниями, то пусть O -- одна из этих точек, и A, B, C, ... -- остальные n точек. По предположению индукции, они принадлежат подпространству размерности >=n-1. К базису этого пространства добавляется вектор OA, который подпространству не принадлежит. Действительно, сумма OA+OB+OC+... ортогональна любому из векторов подпространства, поэтому даёт новое независимое измерение, то есть не принадлежит подпространству. В итоге получается, что все точки не поместить в подпространство размерности меньше n.

ссылка

отвечен 17 Мар '18 0:14

изменен 17 Мар '18 0:49

@falcao, to be continued? :)

(17 Мар '18 0:30) FrostABC
1

@FrostABC: у меня поначалу была другая версия текста. Потом я по ходу дела всё пересочинил. И не заметил, что в конце остался старый абзац. Сейчас я его просто удалю. Доказательство там полное.

(17 Мар '18 0:48) falcao

@falcao, говорят, что там еще есть какое-то решение через определитель матрицы Грама, как Вы думаете, в чем оно заключается?

(17 Мар '18 0:51) FrostABC
1

@FrostABC: да, и так тоже можно. Векторы считаем единичными. Находим матрицу Грама. По главной диагонали 1, остальные элементы равны 1/2. Легко видеть, что такая матрица невырожденная. Значит, система линейно независима, и тогда dim V не меньше числа векторов.

(17 Мар '18 1:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,163
×365
×132
×94

задан
16 Мар '18 23:27

показан
299 раз

обновлен
17 Мар '18 1:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru