Пусть $$f(x) = 3 x^{7} + x^{5} +2 x^{4} +3 x^{3} + x^{2} + 2x, g(x) = 4 x^{6} + 2 x^{5} + 2 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4x$$ многочлены над полем $$Z_{5}$$ Найти $$НОД (f,g)$$ и многочлены $$u(x), v(x), \subseteq Z_{5}[x]$$ такие что $$u(x)f(x)+v(x)g(x)= НОД(f,g)$$

Прошу больше алгоритм решения, нежели само решение Т.е. чтобы найти НОД(f,g) над полем Z_{5} достаточно Евклидом найти НОД и потом просто провести mod 5 (верно же, да?). Но как найти многочлены u и v при таком условии?

задан 17 Мар '18 6:49

Вычисления над полем Z5 мало чем отличаются от вычислений над Z -- по идее, они даже проще. Поэтому алгоритм Евклида и всё остальное работают как обычно. Многочлены u,v можно найти "обратным ходом" алгоритма Евклида, но это длинно. Я бы применил метод неопределённых коэффициентов. Известно, что можно положить deg u < deg g и deg v < deg f. В таком виде будет очень много неизвестных, поэтому надо сначала найти НОД и на него сократить. В итоге получатся многочлены u,v степени 5 и 4 соответственно.

(17 Мар '18 13:12) falcao

@falcao Спасибо, не знал о таком методе. Но т.к. НОД вышел 2x^2+x, то степени u и v должны получиться 4 и 3, или я ошибаюсь? UPD Понял, ошибаюсь. Вы правы. Еще раз спасибо

(18 Мар '18 8:36) Bad

@Bad: НОД можно представить также в виде x^2+3x, чтобы старший коэффициент стал равен 1 (домножение на 3).

Степени вообще-то действительно 4 и 3 будут (уменьшение на 2). Множители здесь равны x^3+3x+4 и 3x^4+x^3+3x^2+4x.

(18 Мар '18 12:46) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,518
×1,330
×1,019
×58

задан
17 Мар '18 6:49

показан
638 раз

обновлен
18 Мар '18 12:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru