Вычислить значение выражения:

$%tg(arctg \frac{2-1}{ 2^{3}-1 } +arctg \frac{3-1}{ 3^{3}-1 }+...+arctg \frac{100-1}{100^{3}-1 })$%

задан 17 Мар '18 21:05

3

$$\Large\arctan\frac{k-1}{k^3-1}=\arctan\frac1k-\arctan\frac1{k+1}$$

(17 Мар '18 21:29) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
4

Найдём общую закономерность. Пусть $%a_k=\arctan\frac{k-1}{k^3-1}=\arctan\frac1{k^2+k+1}$%. Тогда $%\tan a_2=\frac17$%; $%\tan(a_2+a_3)=\frac{\frac17+\frac1{13}}{1-\frac17\cdot\frac1{13}}=\frac29$% по формуле тангенса суммы. Отсюда можно предположить, что $%\tan(a_2+\cdots+a_n)=\frac{n-1}{2n+3}$% при $%n\ge2$%. Докажем это по индукции. База рассмотрена, и далее делаем шаг от $%n-1$% к $%n$%. Получается $%\tan(a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n)=\frac{\frac{n-2}{2n+1}+\frac1{n^2+n+1}}{1-\frac{n-2}{2n+1}\cdot\frac1{n^2+n+1}}=\frac{(n-2)(n^2+n+1)+2n+1}{(2n+1)(n^2+n+1)-(n-2)}=\frac{n^3-n^2+n-1}{2n^3+3n^2+2n+3}$%, и после разложения на множители и сокращения на $%n^2+1$% получается $%\frac{n-1}{2n+3}$%, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 17 Мар '18 21:37

@falcao, Отсюда можно предположить - ну, вот... а говорили, что не умеете угадывать... )))

(17 Мар '18 21:58) all_exist
1

@all_exist: конечно, я не умею "угадывать", что многократно подтверждено опытом. Я умею расследовать, и это совсем разные вещи. Я вообще в детстве хотел быть следователем :)

(17 Мар '18 22:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,711

задан
17 Мар '18 21:05

показан
255 раз

обновлен
17 Мар '18 22:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru