Объясните, пожалуйста, как, используя эйлеровы интегралы, вычислить интегралы:

1) $%\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{xe^{\frac{x}{2}}}{e^{2x}+1} dx.$%

2) $%\int_{0}^{+\infty} e^{-x^4} dx \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-x^4} dx.$%

задан 18 Мар '18 11:17

10|600 символов нужно символов осталось
2

Второй номер совсем очевидный... замена $%z=x^4$% даст гамма-функцию в обоих интегралах...

Первый интеграл хитрее... и в голову пришёл только ректальный путь решения...

Рассмотрим интеграл $$ I(a) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{e^{2x}+1} \;dx $$ Тогда искомый интеграл равен $%\lim\limits_{a \to 1/2} I'(a)$% ...

В рассматриваемом интеграле сделаем замену $%z = e^{-2x}$% ... и получим одну из форм записи бета-функции $$ I(a) = \frac{1}{2}\;\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{z^{-a/2}}{1+z} \;dz = \frac{1}{2}\; B\left( 1-\frac{a}{2};\;\frac{a}{2}\right) = \frac{\pi}{2\sin \frac{\pi a}{2}} $$ Дальше считаете производную и переходите к пределу...

ссылка

отвечен 18 Мар '18 13:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,265

задан
18 Мар '18 11:17

показан
209 раз

обновлен
18 Мар '18 13:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru