-1

Есть теорема о том, что произведение неполных квадратов суммы и разности - есть неполный квадрат.

Вопрос: Будет ли произведение неполных квадратов суммы (n2+n+1) неполным квадратом для любых натуральных n.

задан 18 Мар 17:48

@Strannik: хотелось бы видеть точную формулировку того, что требуется доказать.

(18 Мар 19:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Ответ на задачу - нет.
$%(1^2+1+1)(3^2+3+1)=39 $%
39 не является неполным квадратом.

ссылка

отвечен 19 Мар 17:59

@spades: тут условие сформулировано очень неудачно. Как стало ясно из комментариев, имелось в виду следующее. Рассматриваются числа вида n^2+n+1, то есть 3, 7, 13, 21, ... . Надо доказать, что имеется бесконечно много случаев (типа 21), когда одно число списка равно произведению двух других.

(19 Мар 18:11) falcao

Тут вся фишка в том, что не требуется найти решение для всех натуральных чисел. Достаточно показать, что для некоторых натуральных чисел будет выполняться соотношение: Например:

F(2)*F(1)=F(4)...... откуда получаем:

F(2k)*F(2k-1)=F(4k^2)

решение приводит к произведению неполного квадрата суммы и разности - которое всегда есть неполный квадрат!

Т.е. найдется бесконечно много натуральных чисел удовлятворяющих данным условиям!!!

(19 Мар 20:47) Strannik

@Strannik: тут есть ещё более простое тождество, которое можно проверить раскрытием скобок, или при помощи комплексных чисел. А именно, если $%f(x)=x^2+x+1$%, то $%f(n)f(n+1)=f(n^2+2n+1)$%.

Условие надо было с самого начала сформулировать как следует, и тогда бы быстро ответили. То есть надо было сказать, что понимается под "неполным квадратом", а потом уже говорить о свойствах. Ясно, что $%f(m)f(n)$% не всегда имеет вид $%f(k)$% (это легко опровергается), но столь сильный факт и не нужен.

(19 Мар 21:02) falcao

@falcao. Я в курсе. Просто ответил ровно на тот вопрос, который поставлен в условии. Задачу, которую на самом деле нужно было решить, тоже понял - но с ней то вроде сам топикстартер разобрался.

(19 Мар 22:43) spades

@spades: сейчас уже стало всё понятно, но я поначалу тоже в какой-то момент подумал на тот вопрос, который буквально здесь прозвучал. Но это мне показалось слишком просто, поэтому я предположил, что имелось в виду нечто другое. Тем более, что определений не было дано, и под "неполными квадратами" можно было понимать то ли n^2+n+1, то ли x^2+xy+y^2.

(19 Мар 23:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

@falcao: А что делать в случае x^2+xy+y^2?

ссылка

отвечен 8 Ноя 20:02

10|600 символов нужно символов осталось
-1

Фактически все свелось к решению уравнения: F(2k)*F(2k-1)=F(4k2)

ссылка

отвечен 18 Мар 19:51

Я до сих пор не понимаю условия. Что такое 4k2, и какова связь с уравнением, также неясно.

(18 Мар 21:39) falcao

4*k в квадрате

вся никак не могу научиться ставить степени :)

(18 Мар 21:40) Strannik

@Strannik: возведение в степень -- это "крышечка", она есть на клавиатуре.

Всё-таки пояснений по поводу условия можно дождаться? :)

(18 Мар 22:33) falcao

Условие задачи из сборника по подготовке к Всеросийским олимпиадам. Временами когда делать нечего - разминаю мозги, чтобы не заржавели.

Назовем натуральное число удивительным, если оно представимо в виде неполного квадрата n^2+n+1 для любого натурального n. Докажите, что существует бесконечно много удивительных чисел, являющихся произведением двух удивительных чисел.

Но после пары минут - все вспомнилось - и решилось. Так, что извините за беспокойство.

(18 Мар 23:04) Strannik
1

@Strannik: число не может быть представимо в виде n^2+n+1 для ЛЮБОГО натурального n. Это бы значило, что число равно одновременно и 1^2+1+1, и 2^2+2+1, и так далее. Правильно было бы сказать "для НЕКОТОРОГО n". Путать между собой два логических квантора -- это очень грубая ошибка.

Если я правильно понял, то рассматривается множество чисел вида n^2+n+1, где n натуральное, и надо доказать, что в нём есть бесконечно много чисел, которые равны произведению двух чисел этого же множества. Так?

(19 Мар 0:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×670

задан
18 Мар 17:48

показан
261 раз

обновлен
8 Ноя 20:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru