Сколькими способами можно наделить абелеву группу $%\mathbb Z/5$% структурой модуля над $%\mathbb Z[i]$%?

задан 19 Мар '18 20:12

Двумя. Элемент i при действии переводит 1 в какое-то a. Тогда i^2 переводит 1 в a^2, откуда a^2=-1(mod 5). Решений два: a=2, a=3. Каждое такое значение даёт корректно определённое действие.

(19 Мар '18 20:56) falcao

В чем заключается корректная определенность?

(21 Мар '18 0:46) Slater

@Slater: по идее, мы должны определить действие каждого элемента из Z[i]. Из определения следует, что единица кольца действует тождественно. Тогда, если мы знаем, как действует i, то действие x+iy определено однозначно. Это значит, что существует не более одного такого действия. Его результат при действии на элементе 1 равен x+ay, где a=2 или a=3. Но после этого надо ещё проверить, что такое действие будет удовлетворять всем аксиомам модуля. Такая проверка корректности хотя и несложная, но её надо проделать.

(21 Мар '18 1:08) falcao

Непонятно, откуда x+ay. Вот рассмотрим случай a=2. В этом случае x из Z/5 переходит в 2x в Z/5 при действии i, т.е. ix=2x. В общем случае по определению $%(\alpha i + \beta)x=2\alpha x + \beta x$%. Это верно? Далее, $%1x=x$% по определению. Остается проверить 2 дистрибутивности и ассоциативность? Или что-то еще надо?

(22 Мар '18 9:03) Slater

@Slater: здесь получилась путаница в обозначениях. То, что у меня x, y, у Вас стало beta и alpha. Я рассматриваю действие только на элементе 1 из Z/5Z (этого достаточно), а у Вас рассматривается действие на x. Не надо при обсуждении вводить свои обозначения для того же самого.

Эта задача довольно простая, и дополнительно здесь нечего обсуждать. Аксиомы модуля известны, и что надо проверять, должно быть понятно. Другое дело, что можно сократить число проверок, так как некоторые пункты там будут выполняться сами собой. Но, раз это упражнение, то можно и поупражняться лишний раз.

(22 Мар '18 13:09) falcao

Ну общая формула действия при а=2 это в старых обозначениях (x+it)t=2xt+yt? (Для проверки понимания)

(22 Мар '18 16:37) Slater

@Slater: у Вас тут путаница обозначений. Переменная t использована дважды. У меня было сказано (словами), что (x+iy)1=x+ay. Эта формула всё определяет. Действую я здесь только на 1, так как это порождающий абелевой группы.

Обсуждать по этой задаче больше нечего. Задачи интересно решать, но совершенно не интересно "мусолить" -- когда мысль ходит по кругу, и новых соображений не появляется.

(22 Мар '18 17:42) falcao

Почему путаница? Если моя формула не верна, то я что-то не так понимаю и проверить свойства не получится. t у меня произвольный элемент группы и он переходит в (x+ay)t

(22 Мар '18 20:02) Slater

@Slater: у Вас написано (x+it)t. Совпадение буквы t в двух местах -- это разве не путаница?

Я полагаю, что обсуждение по этой задаче следует закрыть.

(22 Мар '18 21:13) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
19 Мар '18 20:12

показан
251 раз

обновлен
22 Мар '18 21:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru