|
Плотность распределения случайной величины X задана формулой f(x)=A*x^2, если 0≤x≤2, и нулю в противном случае. Определить значениe вероятности Pr{X-m_{x}>0.5}. задан 1 Апр '13 17:34 
Suffer |
|
1)$$f(x)=\begin{cases}0; x<0,\\ Ax^2;0\le x \le2,\\0; x >0 \end{cases}.$$ Найдем постоянную $%A$% из условия: $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1; \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}^{0}0dx+\int_{0}^{2}Ax^2dx+\int_{2}^{+\infty}0dx=1;$$ $$A\frac{x^3}{3}\mid_{0}^{2}=A\frac{8}{3}=1 \Rightarrow A=\frac{3}{8}.$$ 2) $$M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f(x)dx=\int_{0}^{2}\frac{3}{8}x^3dx=\frac{3}{2}.$$ $$P(X-M(X)\ge0,5)=1-\int_{0}^{2}\frac{3}{8}x^2dx=1-1=0.$$ отвечен 1 Апр '13 18:31 
Anatoliy Тут пропущен множитель $%x$% во второй снизу формуле.
(1 Апр '13 18:45)
falcao
Да, поспешил. Спасибо.
(1 Апр '13 19:00)
Anatoliy
Там ещё в последней формуле верхний предел интегрирования надо скорректировать.
(1 Апр '13 19:21)
falcao
|
|
Интеграл от плотности должен быть равен $%1$%. Поскольку интеграл от $%x^2$% по отрезку $%[0;2]$% равен $%8/3$%, приходим к равенству $%A=3/8$%. Найдём матожидание величины $%X$%. Это интеграл от плотности, умноженной на $%x$%. Интеграл от $%x^3$% по отрезку $%[0;2]$% равен $%2^4/4=4$%. После умножения на $%A$% имеем $%MX=3/2$%. Событие $%X-MX > 0,5$% состоит в том, что $%X > 2$%, и его вероятность равна нулю, так как вся плотность сосредоточена на отрезке $%[0;2]$%. Если бы речь шла о неравенстве с модулем, то есть $%|X-MX| > 0,5$%, то тогда надо было бы ещё включить случай $%X-MX < -0,5$%, то есть $%X < 1$%. Эта вероятность равна интегралу от плотности по отрезку $%[0;1]$%. Интеграл от $%x^2$% по этому отрезку равен $%1/3$%; после умножения на $%A$% получается $%1/8$%. отвечен 1 Апр '13 18:43 
falcao |