Во время перебоев с интернетом придумал задачку) Решается элементарными методами.

Найти все непрерывные функции $%f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$% такие, что при произвольных действительных $%x, \; y$% имеют место равенства: $$\begin{equation} \begin{cases} f(f(x)-f(y))=|f(x)-f(y)|, \\ f(1-f(x+2))=1-f(x) \end{cases} \end{equation}$$

задан 20 Мар '18 23:24

10|600 символов нужно символов осталось
4

1) $%x=y \Rightarrow f (0)=0$%

2) Если $% a:f (a)> 1\Rightarrow $% существует $%b: f (b)=1\Rightarrow f (f (b)-f (a))=1-f (a)= |f (b)- f (a)| <0 $% Поэтому : $% f (x) \le 1 $%

3) Если $% f (b) <0 \Rightarrow 1-f (b)=f (1-f (b+2))> 1$%

Поэтому: $% 0\le f (x) \le 1 $%

4) $% c=1-f (2) : \ f (c)= 1$%

5) $% f (f (c)-f (x+2))=1-f (x)=|1-f (x+2)|\Rightarrow f (x)=f (x+2)$%

6) $% f (f (c))=|f (c)|\Rightarrow f (1)=1 $%

7) $% x \in [0, 1] \rightarrow \ f (1-f (x))=1-f (x)\Rightarrow f (x)=x$%

8) $% y \in [0, 1] \rightarrow f (-f(y))=|f (y)| \Rightarrow f (-y)=y$%

Поэтому получили "пилу")))

ссылка

отвечен 21 Мар '18 17:29

@Sergic Primazon с вами можно как-то связаться?

(21 Мар '18 18:05) Williams Wol...
10|600 символов нужно символов осталось
4

Другой способ. Первое уравнение системы обозначим (1), второе - (2).

1) $%x=y$% в (1): $%f(0)=0$%.

2) $%x=0$% в (2): $%f(1-f(2))=1$%.

3) $%x=1-f(2), \; y=0$% в (1): $%f(1)=1$%.

4) $%x=1$% в (1): $%f(1-f(y))=|1-f(y)|$%. Если в последнее равенство подставить $%y=x+2$% и сравнить это с (2), то получим $%1-f(x)=|1-f(x+2)|$%. Видно, что $%f(x) \le 1$%. Поэтому $%f(x+2) \le 1$%. Тогда $%1-f(x)=1-f(x+2)$%, откуда $%f(x)=f(x+2)$%. Функция периодична с периодом 2.

5) Поскольку функция непрерывна, то на отрезке [-1;1] она принимает максимальное (пусть равное $%b$%) и минимальное (пусть равное $%a$%) свое значение. Так как $%f(x) \le 1$% и $%f(1)=1$%, то $%b=1$%. Так как $%f(0)=0$%, то $%a \le 0$%.

6) Поскольку функция непрерывна, то разница $%f(x)-f(y)$% может принимать все значения из отрезка $%[a-b;b-a]$%. Тогда на основании (1) видим, что для произвольного $%x \in [a-b;b-a]: \; f(x)=|x|$%. Тогда $%f(b-a)=b-a$%. Но $%b$% - максимальное значение функции не только на отрезке [-1;1], а на всей числовой оси, ибо функция периодична. Поэтому $%f(b-a)=b-a \le b$%, откуда $%a \ge 0$%. Следовательно $%a=0$%. И так, имеем, что для произвольного $%x \in [-1;1]: \; f(x)=|x|$%, а дальше все периодично с периодом 2.

ссылка

отвечен 21 Мар '18 18:30

изменен 21 Мар '18 18:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×4

задан
20 Мар '18 23:24

показан
410 раз

обновлен
21 Мар '18 18:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru