Рассмотрим идеал $%(x,y)\subset \mathbb C[x,y]$%. Является ли он свободным модулем над $%\mathbb C[x,y]$%?

Вроде не является. Система порождающих $%(x,y)$% линейно зависима: $%xy-yx=0$%. Но может есть какая-то другая независимая система порождающих?

задан 21 Мар '18 0:53

Допустим, что имеется базис. Он не может состоять из одного элемента, так как x, y оба ему оказываются пропорциональны, а тогда 1 принадлежит модулю. Если же есть два базисных элемента f, g, то действует то же соображение fg-gf=0, то есть между ними есть соотношение.

(21 Мар '18 1:24) falcao

Почему "тогда 1 принадлежит модулю"? Также, это рассуждение вроде можно обобщить, чтобы доказать, что не существует конечного базиса. Но почему не существует бесконечного?

(22 Мар '18 0:52) Slater

@Slater: в начале разбирается случай одноэлементного базиса. Здесь x, y принадлежат модулю, и они выражаются через базис в виде x=df, y=dg, где d -- базисный элемент модуля, а f, g -- какие-то множители из кольца. Общий делитель x и y -- это 1 с точностью до ассоциированности.

Если базис более чем одноэлементен, то в нём есть два разных элемента. Уже они удовлетворяют модульному соотношению. А для базиса (конечного ли, бесконечного) такого быть не должно.

(22 Мар '18 1:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,516

задан
21 Мар '18 0:53

показан
159 раз

обновлен
22 Мар '18 1:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru