Пусть $%I\subset R$% идеал.

При каких условиях $%I$% является свободным $%R$%-модулем?

При каких условиях $%R/I$% является свободным $%R$%-модулем?

задан 21 Мар '18 0:55

10|600 символов нужно символов осталось
1

Подозреваю, что здесь рассматриваются коммутативные кольца с единицей, как и в нескольких предыдущих задачах на ту же тему.

Случай нулевого модуля рассматривать не будем: он всегда свободен, с пустым базисом.

1) Если $%I$% свободен как $%R$%-модуль, то базису не могут принадлежать два элемента в силу всё того же модульного тождества $%a\cdot b=b\cdot a$%. Пусть базисный элемент один. Тогда идеал главный: $%I=(d)$%. В этом случае не должно быть соотношений вида $%d\cdot r=0$% при $%r\ne0$%, а это равносильно тому, что порождающий элемент $%d$% не является делителем нуля.

2) Случай $%I=0$% тривиален, так как при этом получается свободный циклический модуль $%R$% с базисным элементом $%1$%. Если $%0 < I < R$%, то фактормодуль $%R/I$% свободным не будет. Действительно, если $%a+I$% -- базисный элемент, то для любого $%r\in I$%, $%r\ne0$% имеет место модульное соотношение $%(a+I)\cdot r=ar+I=I$% ввиду $%ar\in I$%. Справа получился нулевой элемент фактормодуля, то есть он не свободен.

ссылка

отвечен 21 Мар '18 23:56

А почему Вы рассматриваете только комбинацию из 2х членов $%ab-ba$%? Этого достаточно из каких-то соображений, ли формально надо рассмотреть любые конечные комбинации? Также (как и в предыдущем вопросе), что если у I есть бесконечный базис?

(22 Мар '18 0:57) Slater

@Slater: если базис состоит более чем из одного элемента, то найдутся два различных базисных элемента a, b. Уже для них есть модульное соотношение (при остальных базисных элементах коэффициенты нулевые). Значит, это не базис.

Здесь рассуждение подобно тому, как если в системе векторов (любого размера) имеются два пропорциональных вектора -- тогда она уже линейно зависима.

(22 Мар '18 1:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
21 Мар '18 0:55

показан
212 раз

обновлен
22 Мар '18 1:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru