Решить уравнение sin(x+pi/4)=sin^3(x)+cos^3(x) на отрезке [pi/2; 2pi]

задан 21 Мар '18 13:55

Применила формулы, получила: (sinx+cosx)(sqrt(2)/2 - 1+sinxcosx)=0 sinx+cosx=0 x=-pi/4 + pin. Выбрав корни получаем х=3pi/4 и x=7pi/4. Решение второго уравнения: sinx cosx=(1-sqrt(2))/2 sin2x=2-sqrt2 x= (-1)^n 0,5arcsin(2-sqrt2)+pin. Как выбрать здесь корни принадлежащие промежутку?

(21 Мар '18 14:01) Utybq
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\sin(x+\pi/4)=\sin^3(x)+\cos^3(x)$$ $$\frac{\sqrt2}2\sin x+\frac{\sqrt2}2\cos x=(\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)$$ $$\frac{\sqrt2}2(\sin x+\cos x)=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)$$ $$(\sin x+\cos x)(1-\frac{\sqrt2}2-\sin x\cos x)=0$$ Решения первого уравнения: $$x=-\frac{\pi}4+\pi n$$ В данный промежуток очевидно входят корни: $%\pi-\frac{\pi}4$% и $%2\pi-\frac{\pi}4$%

Второе уравнение:

$$x=(-1)^k\frac12\arcsin(2-\sqrt2)+\frac{\pi k}2$$ Это уравнение на данном промежутке даст два корня, в чем можно убедиться нарисовав графики $%y=\sin2x$% и $%y=2-\sqrt2$%

Это будут корни :

$%x=\pi+\frac12\arcsin(2-\sqrt2)$% и $%x=\frac{3\pi}2-\frac12\arcsin(2-\sqrt2)$% соответствующие значениям $%k=2$% и $%k=3$%

ссылка

отвечен 21 Мар '18 14:03

изменен 21 Мар '18 14:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×97

задан
21 Мар '18 13:55

показан
215 раз

обновлен
21 Мар '18 14:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru