Z^2, (a, b) * (c, d) = (ac+3bd, ad + bc) Нужно проверить будет ли являться группой.

задан 21 Мар '18 19:25

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я напишу подробно, чтобы было ясно, как проверять такого рода вещи в общем случае. Здесь можно почти сразу сказать, что группой этой множество с заданной операцией не будет, поэтому можно не проверять ассоциативность. Однако вопрос об ассоциативности операции мог быть задан независимо.

Для проверки ассоциативности нужно взять три пары $%(a,b)$%, $%(c,d)$%, $%(e,f)$% и проверить, что $%((a,b)\ast(c,d))\ast(e,f)=(a,b)\ast((c,d)\ast(e,f))$%. Имеем:

$%(a,b)\ast(c,d)=(ac+3bd,ad+bc)$%;

$%(ac+3bd,ad+bc)\ast(e,f)=((ac+3bd)e+3(ad+bc)f,(ac+3bd)f+(ad+bc)e)=$% $%=(ace+3bde+3adf+3bcf,acf+3bdf+ade+bce)$%. Это значение левой части.

Теперь вычисляем правую: $%(c,d)\ast(e,f)=(ce+3df,cf+de)$%;

$%(a,b)\ast(ce+3df,cf+de)=(a(ce+3df)+3b(cf+de),a(cf+de)+b(ce+3df))=$% $%=(ace+3adf+3bcf+3bde,acf+ade+bce+3bdf)$%. Это значение правой части. Сравниваем с тем, что получили выше, и убеждаемся, что одно с другим совпадает.

Попутно замечаем, что операция также коммутативна, что непосредственно очевидно. Это для того, чтобы сократить последующие проверки.

Проверим наличие нейтрального элемента. Таковым здесь будет $%(1,0)$%. В самом деле, $%(a,b)\ast(1,0)=(a\cdot1+3b\cdot0,a\cdot0+b\cdot1)=(a,b)$% для любой пары.

Теперь проверяем, у всякого ли элемента существует обратный. Для этого рассматриваем пару $%(a,b)$%, и пытаемся найти такую пару $%(x,y)$%, для которой $%(a,b)\ast(x,y)=(1,0)$%. Сразу бросается в глаза, что при $%a=b=0$% в правой части получится $%(0,0)$%, то есть обратный элемент есть не всегда. Значит, перед нами не группа.

Можно ещё отметить, что если рассмотреть числа вида $%x+y\sqrt3$%, где $%x$%, $%y$% целые, то они будут перемножаться именно по тому закону, который здесь рассматривается. А именно, $%(a+b\sqrt3)(c+d\sqrt3)=(ac+3bd,(ad+bc)\sqrt3)$%. Это соображение даёт второе доказательство ассоциативности операции, так как умножение действительных чисел требуемым свойством обладает.

В заключение заметим, что если рассматривать пары с рациональными координатами вместо целых, а нулевую пару исключить, то при этом получится группа.

ссылка

отвечен 21 Мар '18 22:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520
×1,019
×241

задан
21 Мар '18 19:25

показан
998 раз

обновлен
21 Мар '18 22:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru