Найти базис $%\mathbb Z$%-модуля целочисленных решений системы

$%x+2y+3z=0,x+4y+9z=0$%

Бытовыми способами можно приравнять $%2y+3z=4y+9z$% и найти $%(x,y,z)=(3,-3,1)$%. Но как это решать "по науке", с помощью диагонализаций и т.д.?

задан 22 Мар '18 1:57

изменен 22 Мар '18 2:13

Тут нужно упростить уравнение, получить y=-3z, откуда x=-2y-3z=3z. Базис состоит из одного вектора (3,-3,1). Это простая школьная задача, и никакой "науки" применять не надо. Для более сложного примера, можно гауссовыми преобразованиями приводить матрицу к ступенчатому, а также "квазидиагональному" виду. Это в данном случае даёт

1 2 3

1 4 9

затем

1 2 3

0 2 6

и в конце последняя строка 0 1 3. Этого, по идее, достаточно для нахождения базиса в общем случае обычными соображениями здравого смысла.

(22 Мар '18 2:10) falcao

То есть нормальная форма Смита тут ни при чем, и приплести сюда можно только элементарные целочисленные преобразования строк (но не столбцов)?

(22 Мар '18 2:13) Slater

@Slater: я понятия не имею о том, что такое "нормальная форма Смита"! :) По-моему, это какая-то теория на ровном месте. Тут всё очевидно и так. Преобразовывать столбцы не надо, так как тут мы решаем систему. Обычных школьных методов достаточно вполне.

(22 Мар '18 2:40) falcao

В данном случае есть только 2 базиса? Из указанного элемента и минус он?

(22 Мар '18 8:13) Slater

@Slater: если базисный элемент всего один, то он определён однозначно с точностью до "плюс-минус". В общем же случае базисов будет бесконечно много.

(22 Мар '18 13:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521
×1,334

задан
22 Мар '18 1:57

показан
184 раза

обновлен
22 Мар '18 13:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru