Пусть $%f: \mathbb Z^k \to \mathbb Z^k$% - гомоморфизм умножения на целочисленную матрицу $%A$%. Доказать, что индекс образа конечен тогда и только тогда, когда $%A$% невырождена и что в таком случае индекс равен модулю определителя $%A$%.

задан 22 Мар '18 2:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

Матрицу можно диагонализировать целочисленными гауссовыми преобразованиями строк и столбцов. Модуль определителя при этом не меняется. Преобразованиям столбцов соответствуют согласованные замены базисов.

В итоге на диагонали появятся числа d(1), ... , d(k). Образ имеет вид d(1)Z x ... x d(k)Z. Факторгруппа Z x ... x Z по нему будет изоморфна прямому произведению групп вида Z/d(i)Z. Если d(i)=0 для некоторого i, то факторгруппа содержит множитель Z, и потому бесконечна. Индекс образа также бесконечен.

Если все d(i) ненулевые, то группа Z/d(i)Z будет конечной циклической порядка |d(i)|. Индекс образа равен порядку факторгруппы, который равен произведению модулей диагональных элементов матрицы. Это и есть модуль её определителя.

ссылка

отвечен 22 Мар '18 3:02

Я понимаю это решение над R, но не над Z. Мне кажется, тут используется две вещи. 1) Определитель А ненулевой iff никакой d_i не равен нулю, 2) матрица обратима iff ее определитель ненулевой. Но над Z это же неверно - он должен быть +-1. Или какая логика решения? Как именно доказываются импликации? Если матрица не обратима, отсюда же не следует что какой-то d_i нулевой. А вот если матрица обратима, то никакой d_i не нулевой, и тогда индекс конечен (т.е. эта импликация ясна).

(22 Мар '18 8:45) Slater

@Slater: вырожденной называется матрица с нулевым определителем. Над полем это равносильно обратимости. Здесь наиболее типовым будет случай, когда определитель ненулевой, но при этом он не равен 1 по модулю. То есть матрица невырожденная, и при этом она не имеет обратной над Z.

(22 Мар '18 13:04) falcao

В моем представлении терминология такая. Невырожденная и обратимая матрица - синонимы. Такая матрица должна иметь обратную в том же кольце. Вырожденная это не невырожденная. Над целыми такая матрица может иметь определитель 5.

(22 Мар '18 17:19) Slater

@Slater: это синонимы только для матриц над полями. "Основное" определение невырожденной матрицы, годное для всех случаев -- это когда определитель не равен нулю. В данном случае ничего другого иметься в виду не может, так как тут сказано, чему равносильно рассматриваемое условие (конечность индекса образа). Если рассматривать обратимые матрицы, то получится биекция, и образ совпадёт с Z^k.

(22 Мар '18 17:37) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,521

задан
22 Мар '18 2:16

показан
210 раз

обновлен
22 Мар '18 17:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru