Я написал доказательство, но вижу: то ли неверно, то ли нестрого. Вот оно:


Линейный порядок: вторая координата -- главная.

Выберем в $$ \mathbb{N}\times\mathbb{Z} $$ упорядоченную пару $${<}1, z{>}.$$ У неё есть бесконечно много "однозначных соседей" справа: $${<}{2, z}{>}, {<}3, z{>}, \dots,$$ но слева -- "разрыв в бесконечность", "однозначного соседа" нет: $${<}{n, z-1}{>} < \dots < {<}{1, z}{>}.$$

В $$\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$$ же, напротив, благодаря отсутствию наименьшего элемента во множестве целых чисел у каждой упорядоченной пары слева существует и единственный "однозначный сосед".

Структура не сохраняется. Изоморфизма нет.


Как доказать правильно и строго? В том ли направлении я думаю? Занимаюсь по "Началам теории множеств" Верещагина и Шеня.

Большое спасибо.

задан 22 Мар '18 13:39

изменен 22 Мар '18 14:20

@fragileradius: надо заметить, в чём структурная разница, и описать в терминах стандартных понятий. У ZxZ для любого элемента (x,y) рассмотрим множество всех меньших. Оно имеет наибольший элемент (x-1,y). Для NxZ это неверно: если взять пару вида (1,a), то первую координату не уменьшить. Тогда у любого меньшего элемента вторая координата меньше a. Увеличивая первую координату, мы получим больший элемент, и он также меньше (1,a).

(22 Мар '18 14:01) falcao

@falcao Большое спасибо! Я правильно понимаю, что самое главное в том, что в ZxZ любая пара (в том числе вида <1, z>) задаёт множество меньших себе, в котором всегда //есть// наибольший элемент, а в NxZ пары вида <1, z> задают множество меньших себе, в котором //нет// наибольшего элемента -- а для изоморфизма необходимо, чтобы наибольший соответствовал наибольшему, энный -- энному и так далее?
Спасибо ещё раз.

(22 Мар '18 14:45) fragileradius

@fragileradius: да, всё верно. Только в конце нужно уточнить, что чему соответствует. При изоморфизме пара (x,y) переходит в какую-то пару из NxZ. Множество всех меньших для одной пары переходит в множество всех меньших для другой пары, так как изоморфизм сохраняет порядок. Получается порядковый изоморфизм двух подмножеств. Наибольший элемент в одном подмножестве есть, а в другом нет -- противоречие.

(22 Мар '18 15:07) falcao

@falcao Спасибо. Стало больше понятно про изоморфизм.

(22 Мар '18 15:19) fragileradius
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×627
×296
×252
×68

задан
22 Мар '18 13:39

показан
613 раз

обновлен
22 Мар '18 15:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru