|
Скажите, пожалуйста, как можно найти базис пересечения линейных подпространств U и W? Проблема в том, что они натянуты на 5 векторов (3 - первое, 2 - второе), содержащих по пять чисел в каждом. В результате преобразования к ступенчатому виду, в последней строке получается 1 число. Если его просто приравнять к 0, то поднимаясь выше, мы везде получим 0. задан 1 Апр '13 20:15 
Andrey Mensh... |
|
В Вашем случае пересечение подпространств является нулевым; соответственно, базис будет пустым. Здесь происходит следующее: вектор, принадлежащий каждой из линейных оболочек, записывается в виде $%x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3=y_1b_1+y_2b_2$% с неопределёнными коэффициентами. Если теперь записать равенство по каждой координате, то получится пять линейных уравнений. Это соответствует записи векторов в столбцы, с разделением на левую и правую часть (то есть у матрицы имеется вспомогательная вертикальная черта между третьим и четвёртым столбцом. Эту систему Вы решаете методом Гаусса. И далее получается ступенчатая система, которая в данном случае имеет только нулевое решение. Последнее уравнение здесь интерпретируется как $%0x_1+0x_2+0x_3=0y_1+(35/3)y_2$%, откуда $%y_2=0$%. Далее всё стандартно выражается, и из предпоследнего уравнения, с учётом уже полученного равенства, выводится $%y_4=0$%, и так далее. Ясно, что общее решение здесь нулевое, то есть оно имеет вид $%x_1=x_2=x_3=y_1=y_2=0$%. Подставляя эти числа в исходный вектор, принадлежащий обоим подпространствам, мы видим, что он является нулевым. Здесь достаточно "оживить" строки ступенчатой матрицы, увидев за каждой из них некоторое уравнение, и тогда всё сразу становится ясно. отвечен 1 Апр '13 21:46 
falcao Благодарю, даже не подумал, что решение может быть нулевым. К сожалению, у меня даже нет очков, чтобы Вас отблагодарить. :(
(1 Апр '13 21:56)
Andrey Mensh...
Чтобы отблагодарить достаточно нажат на ручке пальцем вврех, в верхнем левом углу ответа. Тогда автор атвета получит 10 баллов.
(1 Апр '13 22:38)
ASailyan
|
|
Первое: приводим к ступенчастому виду матрицу, составленную из $%A_1, A_2, A_3$%. Делаем вывод: подпростанство $%U$% трехмерное. Далее: приводим к ступенчастому виду матрицу, составленную из $%B_1, B_2$%. Делаем вывод: подпростанство $%W$% двухмерное. Третье: приводим к ступенчастому виду матрицу, составленную из $%A_1, A_2, A_3, B_1, B_2$%. Делаем вывод: подпростанство $%U+W$% 5-мерное. Следовательно, пространство пересечение нульмерное (состоит из одного вектора): $%{0}$%. Размерность пересечения равна сумме размерностей 2-х подпространств минус размерность суммы 2-х подпространств. отвечен 1 Апр '13 21:56 
Lyudmyla 1
Из того, что сумма подпространств имеет размерность $%5$%, в данном случае автоматически вытекает и тот факт, что $%dim U=3$%, $%dim V=2$%. Это можно не проверять отдельно.
(1 Апр '13 22:55)
falcao
Согласна на все 100
(1 Апр '13 23:42)
Lyudmyla
|
Хотелось бы уточнить, какой именно способ Вы здесь применяете. Вообще говоря, способы нахождения базиса пересечения могут быть разные. Из чего у Вас состоит матрица, которая далее приводится к ступенчатому виду? В зависимости от этого, можно далее будет объяснить, что означает появление строки с одной единицей. Я потом могу более детально написать в ответе, что следует делать.
A1=(1,3,4,-2,-3),A2=(1,2,-1,-2,-3),A3=(3,0,-3,-3,-4)
B1=(4,-7,-4,0,-3),B2=(10,5,0,-14,-10)
$$ X = \alpha 1 A1 + \alpha 2 A2 + \alpha 3 A3 = \beta 1 B1 + \beta 2 B2$$
$$ X = \alpha 1 A1 + \alpha 2 A2 + \alpha 3 A3 - \beta 1 B1 - \beta 2 B2 = 0$$ Переписываю в матрицу, содержащую координаты векторов в столбцах
( 1, 1, 3, -4,-10)
( 3, 2, 0, 7, -5)
( 4, -1, -3, 4, 0)
( -2, -2, -3, 0, 14)
( -3, -3, -4, 3, 10)
Решая методом Гаусса, получаю такую систему
(1, 1, 3, -4, -10)
(0, -1, -9, 19, 25)
(0, 0, 30, -75, -85)
(0, 0, 0,-1/2, 5/2)
(0, 0, 0, 0,35/3)
Из последней строки получается: $$ 35/3 \beta2 = 0 $$ Подставляем это значение в предпоследнюю; Отсюда $$ -0.5 \beta 1 + 0 = 0$$
Способы решения брал отсюда (http://www.cross-kpk.ru/ims/files/New/07-algebra/html/pr2z18.html) и из учебника, но там всегда оставалось 2 ненулевых элемента в последней строке.
Здесь ответом на вопрос о размерности пересечения могло быть любое число от $%0$% до $%2$% включительно. В разных задачах бывает по-разному. Иногда может быть и так, что пересечение оказывается нулевым.