Найти все непрерывные функции $%f: [0; + \infty) \to \mathbb{R}$% такие, что $%f(1) \ne 0$% и для произвольных $%x,y \in (0; + \infty)$%: $$\begin{equation} \begin{cases} f(f(x)f(y))=f(x)f(y) \\ f(x)f( \frac{1}{x})=f(x^2) \end{cases} \end{equation}$$

Р.S. Если кто-то еще расмотрит случай $%f(1)=0$%, то буду очень рад. Дело в том, что задачку сам придумал, но не решил ее для случая $%f(1)=0$%. Но решения принимаются и без этого случая - вдруг там открытая проблема :) Настоящая же задача, можно сказать, решается элементарными методами или методами матанализа первого семестра первого курса.

задан 23 Мар '18 14:37

10|600 символов нужно символов осталось
3

$%f(1)=1$%. Если функция является константой, то либо $%f(x)=1$% либо $%f(x)=0$%. Ищем функции не являющиеся константой. Тогда существует вещественное $%t>1$% такое, что на отрезке $%[0;t]$% функция не является константой. Поскольку функция непрерывна, то на отрезке $%[0;t]$% она будет принимать свое наименьшее (пусть равное $%c$%) и свое наибольшее (пусть равное $%b$%) значение. При этом $%c<b$%, ибо функция не является константой на этом отрезке. Поскольку $%f(1)=1$%, то $%b \ge 1, \: c \le 1$%. Пусть $%a= \max\{0; \, c\}$%. Тогда $%0 \le a \le 1, \; c \le a<b$%. В первое уравнение ситемы подставим $%y=1$% и получим $%f(f(x))=f(x)$%. Поскольку функция непрерывна, то она может принимать все значения из отрезка $%[c;b]$%, а значит и все значения из отрезка $%[a;b]$%. Тогда на основании уравнения $%f(f(x))=f(x)$% видим, что для произвольного $%x \in [a;b]: \; f(x)=x$%. Дальше индукцией докажем, что для произвольного целого неотрицательного $%n$% и для произвольного $%x \in [a^{2^n};b^{2^n}]: \; f(x)=x$%. При $%n=0$% это верно. Пусть это верно при $%n-1$%, т.е. для произвольного $%x \in [a^{2^{n-1}}; \: b^{2^{n-1}}]: \; f(x)=x$%. Если в первое уравнение системы подставить $%y=x$%, то получим $%f((f(x))^2)=(f(x))^2$%. Пусть $%x \in [a^{2^{n-1}}; \: b^{2^{n-1}}]$%. Тогда $%(f(x))^2=x^2$% и, в силу непрерывности функции, выражение $%(f(x))^2$% будет принимать все значение из отрезка $%[a^{2^n}; \: b^{2^n}]$%. Тогда на основании равенства $%f((f(x))^2)=(f(x))^2$% получим, что для произвольного $%x \in [a^{2^n}; \: b^{2^n}]: \; f(x)=x$%. Утверждение доказано индукцией. Тогда $%f(b^{2^n})=b^{2^n}, \: f(b^{2^{n-1}})=b^{2^{n-1}}$%. Подставим $%x=b^{2^{n-1}}$% во второе уравнение системы и получим, что $%f(\frac{1}{b^{2^{n-1}}})=b^{2^{n-1}}$%. Допустим, что $%b>1$%. Тогда при $%n \to + \infty$% получим разрыв в точке $%x=0$% (по сути $%f(0)=+ \infty$%), ибо $%b^{2^{n-1}} \to + \infty$%. Следовательно, $%b \le 1$%. Следовательно, $%b=1$%. Таким образом, для произвольного $%x \in [a^{2^{n-1}}; \: 1]: \; f(x)=x$%. Имеем, что $%0 \le a < b=1$%. Поэтому $%a^{2^n} \to 0$% при $%n \to + \infty$%. Получаем, что для произвольного $%x \in (0; \: 1]: \; f(x)=x$%. Учитывая непрерывность функции в точке $%x=0$%, получаем, что для произвольного $%x \in [0; \: 1]: \; f(x)=x$%. Пусть $%x \in (0; \: 1]$%. Тогда $%x^2 \in (0; \: 1]$%. Тогда $%f(x)=x, \; f(x^2)=x^2$%. Тогда на основании второго уравнения системы получим, что $%f\left(\frac{1}{x} \right)=x$%. При этом $%\frac{1}{x} \in [1;+ \infty)$%. На основании этого получаем, что для произвольного $%x \in [1;+ \infty): \; f(x)=\frac{1}{x} $%.

Ответ к задаче: либо наша функция константа $%f(x)=1$% либо $$\begin{equation} f(x)= \begin{cases} x, \; \; if \; x \in [0;\: 1] \\ \frac{1}{x}, \; \; if \; x \in [1;\: + \infty) \end{cases} \end{equation}$$.

ссылка

отвечен 25 Мар '18 17:24

изменен 25 Мар '18 19:16

2

У меня были очень похожие соображения, но я их не успел оформить.

(25 Мар '18 23:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,399
×1,114
×309
×4

задан
23 Мар '18 14:37

показан
391 раз

обновлен
25 Мар '18 23:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru