Дан квадратный трехчлен $%P(x) = x^2 – px + 1$%. Известно, что уравнение $%P(P(x))=0$% имеет $%4$% различных действительных корня, сумма которых равна $%2017$%. Найдите $%p$%.

задан 23 Мар '18 18:23

10|600 символов нужно символов осталось
2

Легко видеть, что в многочлене $%P(P(x))$% коэфициент при $%x^3$% равен $%-2p$%. Но по теореме Виета это коэфициент должен быть равен $%-2017$%. Следовательно $%p=1008,5$%.

ссылка

отвечен 23 Мар '18 18:57

изменен 23 Мар '18 18:59

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%P(P(x))=P(x^2-px+1)=(x^2-px+1)^2-p(x^2-px+1)+1=x^4-2px^3+\cdots$%. По теореме Виета, сумма корней равна $%2p=2017$%, откуда $%p=\frac{2017}2$%.

Хотя в условии уже дано, сколько корней имеет уравнение $%P(P(x))=0$%, можно дополнительно проверить, что на самом деле получается 4 различных действительных корня. Пусть $%x_1$%, $%x_2$% -- корни квадратного уравнения $%x^2-px+1=0$%. Они действительны и различны при $%p > 2$%. У нас получаются далее два квадратных уравнения: $%P(x)=x_1$% и $%P(x)=x_2$%. Достаточно проверить, что у каждого из них дискриминант положителен. Тогда у каждого из уравнений по 2 корня, а вместе 4, так как общих корней нет ввиду $%x_1\ne x_2$%.

Уравнение $%x^2-px+1-x_i=0$% имеет дискриминант $%p^2-4+4x_i$% ($%i=1,2$%). Для его положительности необходимо и достаточно $%x_i > 1-\frac{p^2}4$%. Это неравенство должно выполняться для меньшего из корней, что мы хотим проверить: $%\frac{p-\sqrt{p^2-4}}2 > 1-\frac{p^2}4$%. Оно верно, так как при $%p > 2$% левая часть положительна, а правая отрицательна.

ссылка

отвечен 23 Мар '18 19:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×516
×15

задан
23 Мар '18 18:23

показан
661 раз

обновлен
23 Мар '18 19:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru