На графике квадратичной функции $%y = ax^2+ bx + c$% c целыми коэффициентами $%a$%, $%b$% и $%c$% отмечены две различные точки $%A$% и $%B$% с целыми координатами. Докажите, что если длина отрезка $%AB$% - целое число, то он параллелен оси $%Ox$%.

задан 23 Мар '18 18:25

10|600 символов нужно символов осталось
2

Введём обозначения $%A(x_1,y_1)$% и $%B(x_2,y_2)$%. Поскольку это различные точки графика функции, $%x_1\ne x_2$%. Квадрат длины отрезка $%AB$% равен $%(y_1-y_2)^2+(x_1-x_2)^2$%. По условию, это точный квадрат. Он делится нацело на $%(x_1-x_2)^2$%, так как $%y_1-y_2=a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)=(x_1-x_2)(a(x_1+x_2)+b)$% делится на $%x_1-x_2$%.

Из элементарных свойств чисел следует, что если $%m^2$% делится на $%n^2$%, то $%m$% делится на $%n$%, и тогда частное $%m^2/n^2=(m/n)^2$% является точным квадратом. У нас точный квадрат $%AB^2$% делится на $%(x_1-x_2)^2$%, поэтому после сокращения получается, что $%(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2})^2+1$% есть точный квадрат. Но так может быть только в том случае, если первое слагаемое равно нулю: два точных квадрата, разность которых равна 1, это только 1 и 0. Отсюда $%y_1=y_2$%, а это и значит, что отрезок $%AB$% параллелен оси абсцисс.

ссылка

отвечен 23 Мар '18 18:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×15

задан
23 Мар '18 18:25

показан
974 раза

обновлен
23 Мар '18 18:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru