В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые. Найдите угол ABC, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

задан 23 Мар '18 22:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Из условия следует, что углы при вершинах трапеции $%A$% и $%D$% больше 90 градусов, так как точка $%M$% лежит внутри. Отсюда следует, что углы при вершинах $%B$% и $%C$% острые. Опустим перпендикуляры $%AA_1$% и $%DD_1$% на основание $%BC$%. Можно считать, что $%AD=1$%, $%BC=2$%. При этом $%AD=A_1D_1$%, и если $%BA_1=x$%, то $%CD_1=1-x$%.

Опустим также перпендикуляр $%MM_1$% на $%AD$%. Точка $%M$% лежит между $%A$% и $%D$%. Положим $%M_1D=y$%, откуда $%AM_1=1-y$%.

С учётом того, что сумма углов при вершинах $%A$% и $%B$% трапеции равна 180 градусам, а угол $%BAM$% прямой, легко выводится, что угол $%ABC$% равен углу $%AMM_1$%, откуда следует подобие прямоугольных треугольников $%ABA_1$% и $%AMM_1$%. Аналогично, $%DCD_1$% подобен $%DMM_1$%.

Пусть $%h$% -- высота трапеции. Тогда $%MM_1=h-1$%, так как расстояние от $%M$% до $%BC$% равно 1. Из подобия треугольников следуют равенства $%h:x=(1-y):(h-1)$% и $%h:(1-x)=y:(h-1)$%. Отсюда $%h(h-1)=(1-x)y=x(1-y)$%, то есть $%x=y$%. Следовательно, $%h(h-1)=x(1-x)$%.

Обозначим через $%\beta$% и $%\gamma$% углы трапеции при вершинах $%B$% и $%C$% соответственно. Ясно, что $%\tan\beta=h/x$%, $%\tan\gamma=h/(1-x)$%, откуда $%\tan\beta+\tan\gamma=h(\frac1x+\frac1{1-x})=\frac{h}{x(1-x)}=\frac1{h-1}$%. Далее, $%\tan\beta\tan\gamma=\frac{h^2}{x(1-x)}=\frac{h}{h-1}$%. Поэтому $%\tan(\beta+\gamma)=\frac{\tan\beta+\tan\gamma}{1-\tan\beta\tan\gamma}=-1$%, то есть $%\beta$% и $%\gamma$% в сумме дают $%135^{\circ}$%. Это значит, что на угол $%ABC$% приходится $%71^{\circ}$%.

ссылка

отвечен 24 Мар '18 2:40

1

Есть способ решения без тригонометрии? С использованием свойств серединного перпендикуляра?

(24 Мар '18 9:59) badheat

@badheat: это интересный вопрос, я сам над ним пытался думать. Полагаю, что решение без тригонометрии точно должно быть, но мне пока что не удалось его придумать.

(24 Мар '18 13:32) falcao
1

@badheat: я сейчас посмотрел -- решение при помощи серединных перпендикуляров есть, и оно довольно лёгкое. Если продолжить боковые стороны до пересечения в точке K, то AD будет средней линией, а M -- точкой пересечения двух серединных перпендикуляров. Проекция M' точки M на BC попадает в середину, то есть BM'=M'C=1. При этом M является центром описанной окружности относительно KBC. Из сказанного выше ясно, что угол BMC прямой, а тогда BKC равен 45 градусов. Отсюда 180-64-45=71.

(24 Мар '18 14:16) falcao

почему угол BMC - прямой?

(24 Мар '18 21:41) badheat

@badheat: это следует из того, что M проектируется в середину отрезка, откуда M' находится на расстоянии 1 от точек B, M, C. Там два равнобедренных треугольника со стороной 1 возникают.

(24 Мар '18 21:55) falcao

BM'=M'C, но почему MM' = BM'?

(25 Мар '18 9:29) badheat

@badheat: MM' есть отрезок перпендикуляра, опущенного на основание BC. Его длина равна расстоянию от M до BC. По условию, это AD, то есть в наших обозначениях это 1, как и отрезки BM'=M'C.

(25 Мар '18 15:05) falcao

поняла, спасибо!

(25 Мар '18 17:53) badheat
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
23 Мар '18 22:00

показан
1215 раз

обновлен
25 Мар '18 17:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru