При каких условиях диагонализуема матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, элементов побочной диагонали $%α_1$%, . . . , $%α_n$%, нулевые?

задан 24 Мар '18 0:57

10|600 символов нужно символов осталось
0

Вопрос уже встречался здесь, но я закрывать его не буду, так как изложу сейчас более короткое решение. При этом я буду также ссылаться на результат этой задачи.

Расположим базисные векторы в порядке e(1), e(n), e(2), e(n-1), ... , где при нечётном n в конце останется один "непарный" вектор. Матрица при этом разбивается на блоки второго порядка (и ещё один блок порядка 1 в конце при нечётном n). Если все блоки 2x2 диагонализируемы, то вся матрица обладает этим же свойством. Верно и обратное, так как подпространства, порождённые e(k) и e(n-k) инварианты, а тогда в силу второго из упражнений по ссылке, ограничения оператора на эти подпространства также диагонализируемы при условии, что вся матрица такова.

Тем самым, задача сводится к матрице вида (0 a // b 0). Если a=b=0, то диагонализируемость имеет место. Если одно из чисел нулевое, а другое нет -- например, a не равно 0 и b=0, то после деления второго базисного вектора на a мы получаем жорданову клетку порядка 2. Здесь диагонализируемости не будет. Наконец, если оба числа a, b отличны от нуля, то характеристические корни будут различны, и матрица диагонализируема над C.

Отсюда получается критерий, совпадающий с тем, который получился в решении первой задаче по ссылке: нулевые числа в списке a(1), ... , a(n) должны быть симметричны относительно середины.

ссылка

отвечен 24 Мар '18 3:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520

задан
24 Мар '18 0:57

показан
213 раз

обновлен
24 Мар '18 3:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru