Построить факторкольцо Z[i]/(1 + i) и Z[i]/(1 + 2 * i).

Правильно ли я иду от того (например, для первого случая), что, если x = y в фактор-кольце, то x - y = k * (1 + i), а значит (x - y) * (1 - i) = k * (1 + i) * (1 - i) = k * 2, а далее я должен перебрать все подходящие x и y?

задан 24 Мар '18 12:35

изменен 24 Мар '18 13:00

10|600 символов нужно символов осталось
2

Введём обозначение x ~ y, имея под этим в виду, что x и y представляют собой тот же самый элемент факторкольца. С такого рода формулами можно работать как с равенствами (фактически, это равенства образов элементов в факторкольце при естественном гомоморфизме).

В таком виде всё анализируется достаточно просто. Вот первый пример: 1+i ~ 0 по условию. Значит, i ~ -1. Возведение в квадрат даёт -1=i^2 ~ (-1)^2=1, откуда 2 ~ 0 (по сути дела, это следствие Вы и получили). Тогда i ~ 1, и для произвольного элемента кольца получается a+bi ~ a+b ~ r, где r=0 или r=1 -- остаток от деления a+b на 2.

Теперь рассуждаем формально. Рассматриваем отображение из Z[i] в поле {0,1} из двух элементов, переводя a+bi в a+b mod 2, где mod понимается в "программистском" смысле. Проверяем, что сумма переходит в сумму, а произведение в произведение. Значит, перед нами гомоморфизм колец. Он сюръективен, что очевидно. Найдём его ядро. Оно состоит из элементов вида a+bi, где a, b -- числа одинаковой чётности. Проверим, что ядро совпадает с главным идеалом элемента 1+i. Тогда по теореме о гомоморфизмах получится, что факторкольцо Z[i]/(1+i) изоморфно полю из двух элементов.

Элементы главного идеала имеют вид (1+i)(c+di)=(c-d)+i(c+d). Числа c-d и c+d одинаковой чётности, и их можно выбрать любыми с таким свойством. А именно, система c-d=a, c+d=b имеет решение c=(a+b)/2, d=(b-a)/2 для любых чисел a, b одной чётности. Это завершает доказательство.

Для второго случая рассуждение аналогично: 1+2i ~ 0 => 2i ~ -1 => -4 ~ 1, то есть 5 ~ 0, и можно далее рассуждать по модулю 5. Здесь i ~ 6i ~ -3 ~ 2, поэтому a+bi ~ a+2b mod 5. По такому правилу строим отображение из Z[i] в поле вычетов по модулю 5. Проверяем гомоморфность и сюръективность. Элементы главного идеала (1+2i) имеют вид (1+2i)(c+di)=(c-2d)+(2c+d)i. Составляем систему c-2d=a, 2c+d=b, где a+bi принадлежит ядру, то есть a+2b кратно 5. Решая систему, имеем c=(a+2b)/5, d=(b-2a)/5. При рассматриваемом условии, значения c, d будут целыми. Отсюда следует, что факторкольцо Z[i]/(1+2i) изоморфно Z/5Z (полю вычетов по модулю 5).

ссылка

отвечен 24 Мар '18 13:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,145
×43

задан
24 Мар '18 12:35

показан
486 раз

обновлен
24 Мар '18 13:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru