Внутри треугольника взята точка, расстояния от которой до вершин равны x,y,z. Углы, образованные отрезками, соединяющими точку с вершинами треугольника равны по 120 градусов. Кто- нибудь может сказать, что такое величина sqrt(xy+yz+z*x),

задан 24 Мар 23:09

10|600 символов нужно символов осталось
3

$%xy+xz+yz=\frac{4 \sqrt{3}}{3}S$%, где $%S$% - площадь треугольника. Еще можно добавить, что ваша точка это точка Торричели треугольника. Что вы еще хотели услышать?

ссылка

отвечен 24 Мар 23:28

@Witold2357, спасибо. Нет ли такой теоремы, что периметр этого треугольника больше-равен 3sqrt(xy+yz+zx).?

(25 Мар 0:31) epimkin

@epimkin: здесь периметр явно выражается через x, y, z по теореме косинусов. Получается неравенство, которое прямо сходу не очевидно. Поэтому есть смысл задать отдельный вопрос о таком неравенстве.

(25 Мар 3:53) falcao
1

@falcao, да, вопрос-то звучал так: доказать, что при положительных х,у,z sqrt(x^2+xy+y^2)+sqrt(x^2+xz+z^2)+sqrt(y^2+yz+z^2)>=3sqrt(xy+yz+x*z).

Я увидел слева периметр треугольника и подумал, что можно доказать это из геометрических соображений

(25 Мар 14:17) epimkin

@epimkin: да, всё так и есть! Достаточно принять во внимание тот известный факт, что при заданном периметре P, максимальную площадь имеет правильный треугольник. Отсюда S<=sqrt(3)(P/3)^2/4, а это и есть требуемое неравенство.

(25 Мар 15:26) falcao

@falcao, непонятно, как получить правую часть исходного из S<= sqrt(3)/4*(p/3)^2

(25 Мар 17:07) epimkin

@epimkin: тут только тождественные преобразования. Изопериметрическое неравенство имеет вид (P/3)^2>=4S/sqrt(3)=xy+xz+yz. Извлекаем корень, умножаем на 3, и получаем Ваше неравенство.

(25 Мар 17:16) falcao

Нет, почему 4S/sqrt(3)=xy+yz+x*z ?

(25 Мар 17:23) epimkin

Я додумался

(25 Мар 17:34) epimkin

@epimkin: эта формула приведена в рассуждении @Witold2357. Суммируются площади трёх треугольников, согласно стандартной формуле с синусом угла.

(25 Мар 17:39) falcao

@falcao, я все понял, спасибо

(25 Мар 18:05) epimkin
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,558
×391

задан
24 Мар 23:09

показан
134 раза

обновлен
25 Мар 18:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru