0
1

Пусть f и g - непрерывные на X функции. Доказать, что функции M(x) и m(x) также непрерывны на X, если:

  1. M(x) = max{f(x), g(x)}
  2. m(x) = min{f(x), g(x)};

Буду благодарен за любую помощь и за любое объяснение данного вопроса.

P. S. Впервые публикую вопрос, формулы пока выход не очень красиво.

задан 24 Мар '18 23:18

изменен 24 Мар '18 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим непрерывность наших функций в точке $%x_0$%. Из определения непрерывности и определения предела следует, что для произвольного $%\varepsilon>0$% существует окресность точки $%x_0$% такая, что для произвольного $%x$% из этой окресности: $$|f(x)-f(x_0)|< \varepsilon \\ |g(x)-g(x_0)|< \varepsilon$$. Одно из чисел $%g(x_0), \: f(x_0) $% равняется $%M(x_0)$%. Поэтому из неравенств $%g(x)>g(x_0) - \varepsilon, \; f(x)>f(x_0) - \varepsilon$% следует, что одно из чисел $%g(x), \: f(x) $% будет больше за $%M(x_0) - \varepsilon$%. Значит, наибольшее среди чисел $%g(x), \: f(x) $% тоже будет больше за $%M(x_0) - \varepsilon$%. Следовательно $%M(x)>M(x_0) - \varepsilon$%. С другой стороны, на основании неравенств $%g(x)<g(x_0) + \varepsilon, \; f(x)<f(x_0) + \varepsilon$% получим, что $%M(x)<max\{g(x_0) + \varepsilon;\:f(x_0) + \varepsilon\}=\varepsilon+max\{g(x_0) ;\:f(x_0)\}=\varepsilon+M(x_0)$%. И того, получаем, что $%|M(x)-M(x_0)|< \varepsilon$%. Для минимума доказательство аналогично.

ссылка

отвечен 25 Мар '18 0:25

изменен 25 Мар '18 0:29

Большое спасибо за объяснение!

(25 Мар '18 0:55) Ivan9999
10|600 символов нужно символов осталось
0

Оба пункта полностью аналогичны. Более того, второй следует из первого ввиду min(f,g)=-max(-f,-g).

Докажем непрерывность M(x) в любой точке x0. Рассмотрим несколько случаев.

Пусть f(x0) > g(x0). Тогда f-g принимает положительное значение в точке x0. Она непрерывна, поэтому положительна в некоторой окрестности. В её пределах, f(x) > g(x), то есть M(x) совпадает с f(x) в окрестности точки x0. Нам дано, что f непрерывна в точке x0, поэтому и M непрерывна там же.

Случай f(x0) < g(x0) получается заменой обозначений. Осталось рассмотреть случай f(x0)=g(x0); это число равно M(x0). Ввиду непрерывности f и g в точке x0, для любого eps > 0 существуют d1 и d2 такие, что |x-x0| < d1 влечёт |f(x)-f(x0| < eps, а |x-x0| < d2 влечёт |g(x)-g(x0)| < eps. Тогда для d=min(d1,d2) из условия |x-x0| < d следуют двойные неравенства M(x0)-eps < f(x) < M(x0)+eps и M(x0)-eps < g(x) < M(x0)+eps. Значит, при том же условии M(x)=max(f(x),g(x)) удовлетворяет таким же двойным неравенствам, то есть |M(x)-M(x0)| < eps, что доказывает непрерывность.

ссылка

отвечен 25 Мар '18 0:32

Большое спасибо за объяснение!

(25 Мар '18 0:55) Ivan9999
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,436
×622
×60

задан
24 Мар '18 23:18

показан
414 раз

обновлен
25 Мар '18 0:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru