Задана последовательность: $$x_n = \frac{(n+1)(n+2)...(n+10)}{(n-1)(n-2)...(n-10)}$$

Необходимо найти $%N_\epsilon$% для любого положительного $%\epsilon$%.

Вычислив предел последовательности $%\lim_{x \to \infty} x_n = 1$%, получаю формулу: $$|\frac{(n+1)(n+2)...(n+10)}{(n-1)(n-2)...(n-10)} - 1| < \epsilon$$

Теперь необходимо выразить в явном виде $%N_\epsilon$%, но так как степень при $%n=10$%, то числовые выкладки получаются довольно громоздкими.

Если рассмотреть другую последовательность $%y_n$%, которая ограничивает последовательность $%x_n$% сверху ($%x_n < y_n$% и их пределы равны), то можно выбрать такую последовательность, где числовые выкладки получаются не столь громоздкими. Допустим: $$y_n = \frac{(n+10)^{10}}{(n-10)^{10}}$$ Пределы равны, но решение все равно довольно громоздкое. Посоветуйте, как правильно определить последовательность $%y_n$% или же решение в принципе не верное?

задан 25 Мар 1:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Я так понимаю, нужна оценка для $%N_{\varepsilon}$%, потому что точное значение вряд ли можно найти. В принципе, идея замены последовательности на более простую работает: $%1 < x_n < y_n=(\frac{n+10}{n-10})^{10}=(1+\frac{20}{n-10})^{10} < e^{200/(n-10)}$% с учётом неравенства $%1+x < e^x$%. Теперь достаточно потребовать выполнения неравенства $%e^{200/(n-10)} < 1+\varepsilon$%, из которого будет следовать, что $%|x_n-1| < \varepsilon$%. Для этой цели подходит $%n > N_{\varepsilon}=\frac{200}{\ln(1+\varepsilon)}+10$%.

ссылка

отвечен 25 Мар 2:23

Спасибо! До неравенства (1 + x) < e^x я почему-то не додумался.

(25 Мар 13:05) Ivan9999

@Ivan9999: такое неравенство довольно часто применяется при оценках. Можно, кстати, было отдельно оценить (n+k)/(n-k)=1+2k/(n-k) < exp(2k/(n-k)), и тогда общая оценка выходит чуть точнее (200 меняется на 110). Она при этом уже асимптотически близка к оптимальной.

(25 Мар 16:13) falcao
1

Рассмотрел также следующий вариант: ((n + 10) / (n - 10))^10 < 1 + eps. откуда n = 10 * (1 + (1 + eps)^(1/10)) / ((1 + eps)^(1/10) - 1)

(1 Апр 3:49) Ivan9999
1

А ну этот вариант даже проще всех исходных решений: $%\left(1+\frac{20}{n-10}\right)^{10}<1+\epsilon \Leftrightarrow n>\frac{20}{\sqrt[10]{1+\epsilon} -1}+10$%.

Как же я его проглядел :(

(1 Апр 8:22) abc
10|600 символов нужно символов осталось
0

Легко доказать, что имеют место неравенства $$\frac{n+1}{n-10}<\frac{n+2}{n-9}<\frac{n+3}{n-8}<...<\frac{n+10}{n-1}$$ Тогда $$1<\frac{(n+1)...(n+10)}{(n-1)...(n-10)}<\left(\frac{n+10}{n-1} \right)^{10}=\left(1+\frac{11}{n-1} \right)^{10} \le 1+2^9 \cdot \frac{110}{n-1}$$ Заметьте, что я воспользовался неравенством $%(1+x)^{10} \le 1+2^9 \cdot 10x$%, которое верно при $%0<x<1$% (доказать это можно с помощью производной). Из сказаного получаем, что $%N_{\varepsilon}=\max \{13; \; 1+2^9 \cdot \frac{110}{\varepsilon} \}$%

ссылка

отвечен 25 Мар 2:15

изменен 25 Мар 2:25

Спасибо за Ваш вариант. Исходя из выражения (1 + 11/(n - 1))^10, мы также можем перейти к натуральному логарифму, как в ответе описанном ниже?

(25 Мар 13:09) Ivan9999
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,666
×638
×276

задан
25 Мар 1:29

показан
155 раз

обновлен
1 Апр 8:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru