Вычислить двойной интеграл в полярной системе координат: $$\int \int_D dxdy$$ Где D - область, ограниченная кривой: $$ \left( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \right)^2= \frac{x^{2}}{h^{2}}- \frac{y^{2}}{k^{2}} $$

задан 25 Мар '18 2:36

изменен 26 Мар '18 20:01

all_exist's gravatar image


45.6k212

По-моему, уравнение здесь не задаёт кривую, которая что-то ограничивает. Пусть все параметры равны 1. Тогда получается y=0. Для других значений параметров получаются две пересекающиеся прямые, которые также не ограничивают область.

(25 Мар '18 3:52) falcao

Подходил с этим задание к преподавателю, он сказал, что все решается и что просто необходимо перейти к обобщенной полярной системе координат. Ответ должен выглядеть так: $$ab[( \frac{a^{2}}{h^{2}} - \frac{b^{2}}{k^{2}} ) arctan( \frac{ak}{bh}) + \frac{ab}{hk} ]$$

(25 Мар '18 17:48) Men007
1

@Men007, в левой части уравнения стоят скобки... видимо забыли написать степень (типа там скобка в квадрате)...

(25 Мар '18 18:06) all_exist

И как тогда решать этот интеграл со непонятной областью?

(25 Мар '18 18:19) Men007

@Men007, уточните условие... и область сразу станет понятной... )))

(25 Мар '18 18:50) all_exist
1

@Men007: решаться-то оно, наверное, решается, но с другим условием. В том уравнении, которое Вы написали, не получается никакая область. Прежде чем решать, условие нужно исправить.

(25 Мар '18 21:39) falcao

Я уточнил у представителя. Для данного задания выражение в скобках должно стоять в квадрате.

(26 Мар '18 17:28) Men007
1

Ну, вот теперь и замену в уравнении можно сделать... из нового уравнения определите связь между новыми переменными... и перейдёте к повторному интегралу...

(26 Мар '18 20:02) all_exist

Не совсем понимаю, какую именно здесь нужно сделать замену.

(27 Мар '18 17:18) Men007

@Men007: выше было сказано, что обобщённую полярную. То есть x=ar cos ф, y=ar sin ф.

(27 Мар '18 21:24) falcao

Получилось: ((c^2r^2sin(ф)^2)/b^2 + (c^2r^2cos(ф)^2)/a^2)^2 = (c^2r^2cos(ф)^2)/h^2 -(c^2r^2sin(ф)^2)/k^2 Я пытался выразить r через ф, но ничего из этого не вышло. Получилось огромное выражение, которое никак нельзя сократить.

(28 Мар '18 0:56) Men007

@Men007: а что такое c? Имелось в виду, что x/a=r cos ф, y/b=r sin ф. Это обобщённая полярная замена. Конечно, у "игрека" множитель другой -- это опечатка была. При этом (x/a)^2+(y/b)^2=r^2 (для чего так и делалось), и тогда r легко выражается из уравнения кривой.

(28 Мар '18 1:02) falcao

Получаем вот такое выражение: $$r= \sqrt{ \frac{a^{2}k^{2}(cos \phi )^{2}-b^{2}h^{2}(sin \phi )^{2}}{h^{2}k^{2}} } $$ А якобиан равен: I=abr И теперь нужно записать интеграл?

(28 Мар '18 1:25) Men007

Скорей всего, я опять неверно выразил r (там ведь +- корень из...), потому что с таким верхним пределом внешний интеграл посчитать практически нереально. Да к тому же, еще не известно, как изменяется ф (0<=ф<=2pi?)

(28 Мар '18 2:24) Men007

@Men007: никакого +- там нет, потому что r положительно. Оно меняется от 0 до квадратного корня. После интегрирования r dr появится r^2, и корень исчезнет при подстановке верхнего предела интегрирования. По ф надо будет интегрировать в таких пределах, для которых подкоренное выражение неотрицательно. А это даёт ограничения на тангенс. В тригонометрическом интеграле, скорее всего, надо будет делать замену типа z=tg ф.

(28 Мар '18 2:40) falcao

А откуда там появляется tg? То есть там будет ф=arctg(y/x)? Но в таком случае, как выразить x и y из уравнения области? И почему в тригонометрической интеграле мы делаем замену z=tgф, ведь там же просто разность двух интегралов ( (cosx)^2 и (sinx)^2)?

(28 Мар '18 10:08) Men007

@Men007: никакого ф=arctg(y/x) там не будет, конечно. Координаты уже стали полярными, То есть x, y исчезли. Имелось в виду, что в интеграле от cos^2(ф), sin^2(ф) может оказаться полезной замена z=tg ф, как это часто бывает. Но если без неё можно обойтись, то и хорошо.

(28 Мар '18 11:28) falcao
показано 5 из 17 показать еще 12
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,706
×1,265

задан
25 Мар '18 2:36

показан
234 раза

обновлен
28 Мар '18 11:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru