Пусть имеем ступенчатую функцию $$\varphi= \sum_{i=1}^nc_{i}* \chi_{P_{i}}(x)$$ где {P{i}}-дизъюнктный набор множеств, c{i} вещественное число,$$\chi_{P_{i}}-характеристическая\ функция\ множества\ P_{i}. $$ Доказать, что: $$ \lim_{t \rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}{|\varphi(x-t)-\varphi(x)|dx}=0 $$ Данный интеграл можно расскрутить до неравенства: $$\int_{-\infty}^{\infty}{|\varphi(x-t)-\varphi(x)|dx}\leq\sum_{i=1}^n|c_{i}|\int_{-\infty}^{\infty}|\chi_{P_{i}}(x-t)-\chi_{P_{i}}(x)|dx $$ Но дальше не особо понятно что делать.

задан 25 Мар '18 15:56

изменен 25 Мар '18 16:11

Тут идея в том, что при сдвиге на достаточно малое число t, характеристические функции множеств почти не меняются. Я так понимаю, что множества здесь -- это промежутки. Тогда их конечное число, и разность характеристических функций равна нулю всюду кроме t-окрестностей точек разбиения. Тогда при достаточно малом t интеграл будет мал.

(25 Мар '18 16:17) falcao

Правильно ли я понимаю, мы можем уменьшить сдвиг влево на t настолько для каждого Pi, что (x-t) и x будут лежать в Pi, да?

(25 Мар '18 16:35) abc_knower

@abc_knower: я рассматриваю случай разбиения на конечное число промежутков. Не знаю, это ли требуется, но если нужно что-то более общее, то надо точнее формулировать условие. Должна быть измеримость множеств P_i, как минимум.

Для простейшего случая всё легко: если (a,b) -- один из интервалов разбиения, то выбираем малое t, и тогда на (a+t,b-t) функции ф(x) и ф(x-t) равны. Поэтому разность ненулевая только в t-окрестностях точек разбиения.

(25 Мар '18 17:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,177

задан
25 Мар '18 15:56

показан
368 раз

обновлен
25 Мар '18 17:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru