Не могу исследовать функцию f(x) на убывание/возрастание, где $$f(x)=x(1-t^{\frac{1}{x}}),x>0,t\in(0,1)$$ Как я понял, у функции нет экстремумов и вторая производная всюду меньше нуля при указанных условиях, но не могу понять что делать дальше. Из графика видно, что функция возрастает, при любом t из (0,1), но как это доказать аналитически?

задан 25 Мар '18 21:38

10|600 символов нужно символов осталось
0

Производная находится по обычным школьным правилам: $%f'(x)=1-t^{1/x}-x(-\frac1{x^2})t^{1/x}\ln t=1+t^{1/x}(\frac{\ln t}x-1)$%. Проверим, что она всюду положительна. Для этого положим $%a=\frac1t > 1$% и $%z=\frac1x > 0$%. Условие $%f'(x) > 0$% равносильно $%1 > t^{1/x}(1-\frac{\ln t}x)=a^{-z}(1+z\ln a)$%, то есть $%a^z > 1+z\ln a$%. Правая часть представляет собой уравнение касательной к графику экспоненты с основанием $%a > 1$% в точке $%z=0$%. Поскольку экспонента выпукла вниз, касательная находится всюду ниже графика функции, и при $%z=0$% графики имеют общую точку. Отсюда всё сразу следует.

ссылка

отвечен 25 Мар '18 22:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,615
×650
×333

задан
25 Мар '18 21:38

показан
260 раз

обновлен
25 Мар '18 22:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru