Вдоль дороги в ряд стоят $%n\in\mathbb{N}$% домов, в каждом живёт хотя бы один человек, и при этом в любых двух разных домах живёт разное число людей. Два жителя называются соседями, если они живут в одном доме или в соседних домах. Известно, что у каждого жителя либо ровно 20, либо ровно 30 соседей.

Найти все возможные значения $%n$% и доказать, что других нет.

задан 25 Мар '18 23:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

Не знаю, считается ли здесь житель соседом себя самого. Я буду считать, что да (формально, он живёт в одном доме с собой). Если нет, то решение мало чем отличается.

Для n=1 или n=2 всё просто. Пусть n>=3. В первых двух домах живут соседи жителей первого дома. Вместе их 20 или 30, по условию. В первых трёх живут соседи жителей второго дома. Их также 20 или 30. Поскольку в каждом доме кто-то живёт, получается 10=30-20 жителей в третьем доме.

Аналогично обстоит дело для третьего с конца дома -- там тоже 10 жителей. Числа не повторяются, поэтому дома совпадают, откуда n=5. Для такого случая строим пример: 14, 6, 10, 4, 16.

ссылка

отвечен 26 Мар '18 1:24

изменен 26 Мар '18 1:25

@falcao, большое спасибо!

(26 Мар '18 1:46) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пример для $%n=1$%: 20.

Пример для $%n=2$%: 15, 5.

Пример для $%n=5$%: 13,7,10,3,17.

Докажем, что других нет. Пусть $%n \ge 3$%. Пусть в домах живут $%x_1,...,x_n$% людей. У первого дома $%x_1+x_2$% соседей, у второго - $%x_1+x_2+x_3$% соседей. Невооруженным взглядом видно, что второе число больше. Поэтому $%x_1+x_2=20, \; x_1+x_2+x_3=30$%, откуда $%x_3=10$%. Аналогично, если мы рассмотрим три дома с конца, то получим $%x_{n-2}=10$%. Получилось, что в третьем доме с конца столько же людей, сколько в третьем доме с начала. Но это невозможно? Или возможно? Возможно, если речь об одном и том же доме, т.е. если $%n-2=3$%.

ссылка

отвечен 26 Мар '18 1:33

@Witold2357, большое спасибо!

(26 Мар '18 1:46) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,039
×189
×102
×24
×13

задан
25 Мар '18 23:54

показан
222 раза

обновлен
26 Мар '18 1:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru