Здравствуйте! Последовательность $%\{a_n\}$% удовлетворяет условию $%\lim\limits_{n \to \infty} (a_n + a_{n+1})=0$%. Доказать, что $%\{a_n\}$% имеет либо не более двух, либо бесконечно много предельных точек.

задан 26 Мар '18 3:10

10|600 символов нужно символов осталось
2

Опишу идею. Поскольку $%\lim \limits_{n \to \infty} (a_n+a_{n+1})=0$% и $%\lim \limits_{n \to \infty} (a_{n+1}+a_{n+2})=0$%, то составив разницу этих пределов, получим: $%\lim \limits_{n \to \infty} (a_n-a_{n+2})=0$%. Для удобства введем две новые последовательности $%x_i, \: y_i$%, где $%x_i=a_{2i}, \: y_i=a_{2i-1}, \; i \ge 1$%. Тогда получим, что $%\lim \limits_{n \to \infty} (x_n-x_{n+1})=0, \; \lim \limits_{n \to \infty} (y_n-y_{n+1})=0$%. Для произвольного натурального $%m$% можно записать следующих $%m$% пределов: $$\lim \limits_{n \to \infty} (x_n-x_{n+1})=0, \\ \lim \limits_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_{n+2})=0, \\ ... \\ \lim \limits_{n \to \infty} (x_{n+m-1}-x_{n+m})=0.$$ Сложив эти пределы, получим $%\lim \limits_{n \to \infty} (x_n-x_{n+m})=0$%. Если последовательность ограничена сверху, то у нее есть верхний предел. Тогда некая подпоследовательность будет сходится к этому пределу. Тогда числа $%m$% мы сможем так подобрать, чтобы все числа $%x_{n+m}$% принадлежали этой подпоследовательности. Тогда будет существовать предел $%\lim \limits_{n \to \infty} x_n$% и, следовательно, одна предельная точка. Аналогично, получим одну предельную точку для последовательности игреков. Остается рассмотреть случай, когда наша последовательность неограничена.

ссылка

отвечен 26 Мар '18 15:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,619
×334

задан
26 Мар '18 3:10

показан
260 раз

обновлен
26 Мар '18 15:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru