Всем привет. Помогите, пожалуйста, сделать обратное преобразование Лапласа для функции $%F(p)=exp(-xp^{1/2})/p^{3/2}$% при помощи вычетов.

задан 2 Апр '13 0:32

изменен 2 Апр '13 15:34

falcao's gravatar image


254k23650

10|600 символов нужно символов осталось
1

Выполнить обратное преобразование для этой функции при помощи контурного интегрирования -- задача очень трудоёмкая. Поэтому я могу предложить своего рода обходной путь.

Прежде всего, для похожей функции $%F(a)=\exp(-a\sqrt{s})/\sqrt{s}$% задача разобрана в литературе. Уже в этом случае вычисления являются весьма сложными. Поэтому я хочу сослаться на книгу: J. Williams, Laplace Transorms, серия Problem Solvers, номер 10, 1973. Сетевой вариант для ознакомления можно найти через поисковые системы. Нужный пример разобран на стр. 73, Problem 4.4 (ii). См. там же конструкцию контурного интегрирования несколькими страницами выше. Ответ там получился такой: $$f(t)=\frac{e^{\frac{-a^2}{4t}}}{\sqrt{\pi t}}.$$

Из этого результата можно вывести то, что требуется в Вашем случае. Здесь можно воспользоваться одним из свойств обратного преобразования Лапласа. А именно, если его применить к функции $%F(s)/s$% (а это как раз то, что у Вас, с точностью до обозначений), то должен получиться интеграл от функции $%f(t)$%, то есть $$\int\limits_0^t\frac{e^{\frac{-a^2}{4y}}}{\sqrt{\pi y}}\,dy.$$ Вычислить такой интеграл сравнительно просто: нужно сначала занести корень из $%y$% под знак дифференциала, а затем применить интегрирование по частям. Первое слагаемое при этом сразу же вычисляется, а второе посредством замены сводится к интегралу от функции $%e^{-z^2}$% (из этого легко понять, какая именно замена здесь требуется). Окончательным ответом будет такая функция: $$2\sqrt{\frac{t}{\pi}}\exp\left(-\frac{a^2}{4t}\right)-a\left(1-{\mathop{\rm erf}}\left(\frac{a}{2\sqrt{t}}\right)\right),$$ где $%{\mathop{\rm erf}}(c)=\frac2{\sqrt{\pi}}\int_0^ce^{-z^2}\,dz$%.

ссылка

отвечен 4 Апр '13 3:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×16

задан
2 Апр '13 0:32

показан
1190 раз

обновлен
4 Апр '13 3:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru