Есть абелева группа порядка 270. Можно ли ее представит в виде Z^2/M, если да, то какие образующие у М?

задан 26 Мар '18 14:02

10|600 символов нужно символов осталось
0

Число 270 равно $%2\cdot3^3\cdot5$%. Поэтому абелева группа изоморфна прямому произведению подгрупп порядков 2, 27 и 5. С первой и последней всё ясно, а подгруппа порядка 27 может иметь один из трёх типов: Z(27), Z(9)xZ(3), или Z(3)xZ(3)xZ(3). В последнем случае подгруппа не может быть порождена двумя элементами, а тогда и вся группа не может (для абелева случая такой принцип верен). Значит, такая группа не будет представима в виде гомоморфного образа свободной абелевой группы ранга 2, то есть в виде Z^2/M.

Ответ в общем случае отрицательный, но если имеет место первый или второй случай, то можно описать, как выглядит M. Разберём второй вариант. Здесь группа изоморфна прямой сумме двух циклических: Z(9)xZ(30). Используется то, что прямое произведение циклических групп взаимно простого порядка циклично. Это не единственный способ -- можно было бы ту же группу записать в виде Z(18)xZ(15) или Z(90)xZ(3) и т.п. Но для случая Z(m)xZ(n) всегда подходит факторгруппа ZxZ по подгруппе M, порождённой m-й и n-й степенью образующих, соответственно.

Здесь обычно используют аддитивную запись, поэтому вместо степеней берутся кратные. И тогда при образующих a, b и операции сложения, в качестве M можно взять подгруппу, порождённую 9a и 30b.

ссылка

отвечен 26 Мар '18 22:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×28

задан
26 Мар '18 14:02

показан
242 раза

обновлен
26 Мар '18 22:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru