Можно ли среди чисел $$\dfrac{1}{2018},\quad \dfrac{2}{2017},\quad \dfrac{3}{2016},\quad\dots ,\quad \dfrac{2018}{1}$$ выбрать три, произведение которых равно 1?

задан 27 Мар '18 1:26

изменен 27 Мар '18 1:31

10|600 символов нужно символов осталось
4

Нельзя. Числа имеют вид $%\frac{n}{2019-n}$%. Получаем диофантовое уравнение $%nkm=(2019-n)(2019-m)(2019-k)$%, откуда $%2nkm=2019^3-2019^2(n+k+m)+2019(nk+nm+km)$%. Число 2019 делится на простое 673. Тогда одно из чисел $%n,k,m$% делится на 673. Пусть этим числом будет $%m$%. Тогда либо $%m=673$% либо $%m=2 \cdot 673$%. Если эти значения подставить в уравнение, то увидим, что еще одно число должно делится на 673. Следовательно, не теряя общности $%m=2 \cdot 673; n=673$%. Подставив в уравнение, получим, что $%k=\frac{2019}{2}$% - не натуральное.

ссылка

отвечен 27 Мар '18 11:12

изменен 27 Мар '18 11:14

@Witold2357, большое спасибо!

(27 Мар '18 11:45) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,401
×69
×50
×24
×23

задан
27 Мар '18 1:26

показан
375 раз

обновлен
27 Мар '18 11:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru