alt text

Если можно, объясните, пожалуйста, выбор метода, почему именно он. Ну и опять же остается открытым вопрос о решениях однородного уравнения в каком виде их тут искать, у меня есть предположение, в виде y1=Ax^2+Bx+C, но это не точно. Прошу помочь разобраться в этом вопросе.

задан 27 Мар 11:12

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если можно, объясните, пожалуйста, выбор метода, почему именно он. - сделать ба преобразования и выбрать, где проще решать дальше...

1) Пусть $%y(x) = \eta(\xi)$%, тогда

$$ y_x = \eta_\xi\cdot \xi_x, \quad y_{xx} = \eta_{\xi\xi}\cdot \Big(\xi_x\Big)^2 + \eta_\xi\cdot \xi_{xx} $$

Подставляем в уравнение

$$ (1+x^2)\left(\eta''\Big(\xi'\Big)^2 + \eta'\, \xi''\right)+4x\, \eta'\, \xi'+2\eta=\cos x $$

$$ (1+x^2)\, \eta''\Big(\xi'\Big)^2 + \eta'\Big((1+x^2) \, \xi''+4\, x\, \xi'\Big) +2\eta=\cos x $$

Замену переменной выбираем как решение уравнения $$ (1+x^2) \, \xi''+4\, x\, \xi'=0 $$ Решаемо, но замена получается дикая...

2) Пусть $%y(x) = u(x)\cdot z(x)$%, тогда $$ y'=u'z+uz', \quad y'' = u''z+2u'z'+uz'' $$ Подставляем в уравнение $$ (1+x^2)(u''z+2u'z'+uz'')+4x(u'z+uz')+2uz = \cos x $$ $$ (1+x^2)u z'' + \Big(2(1+x^2)u'+4xu\Big)z'+\Big((1+x^2)u''+4xu'+2u\Big)z = \cos x $$ Находим $%u(x)$% как решение уравнения $$ 2(1+x^2)u'+4xu=0 \quad\Rightarrow\quad u= \frac{1}{1+x^2} $$ Таким образом, исходное уравнение перепишется как $$ z'' = \cos x $$

Ну, а теперь делайте Ваш выбор... )))

ЗЫ: можно было изначально заметить, что $$ (1+x^2)y''+4xy'+2y = (1+x^2)y''+2(1+x^2)'y'+(1+x^2)''y =\Big((1+x^2)y\Big)'' $$

ссылка

отвечен 28 Мар 16:42

изменен 28 Мар 16:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×873

задан
27 Мар 11:12

показан
80 раз

обновлен
28 Мар 16:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru